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首页 高一 人教版高中数学必修二检测:阶段通关训练(二) Word版含解析

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  • 资源类别:高一试卷
  • 所属教版:高一下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:330k
  • 浏览次数:722
  • 整理时间:2021-04-07
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    阶段通关训练(二)
     (60分钟 100分)
    一、选择题(每小题5分,共30分)
    1.(2016·吉安高二检测)下列说法中正确的是 (  )
    A.三点确定一个平面
    B.两条直线确定一个平面
    C.两两相交的三条直线一定在同一平面内
    D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内
    【解析】选D.选项A中,缺条件“不共线”;选项B中,须指明这两条直线的位置关系,比如两条异面直线就不能确定一个平面;选项C中,两两相交的三条直线当相交于同一点时,它们可以不在同一平面内,比如正方体中同一顶点的三条棱.
    2.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么 (  )
    A.PA=PB>PC
    B.PA=PB<PC
    C.PA=PB=PC
    D.PA≠PB≠PC
    【解析】选C.因为M为AB的中点,△ACB为直角三角形,所以BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC,所以Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.
    3.(2016·成都高二检测)如图,已知三条长度相等的线段AB,BC,CD,若AB⊥BC,BC⊥CD,且直线AB与CD所成角大小为60°,则直线AD与BC所成角大小为 (  )

    A.90°    B.60°    C.45°    D.30°
    【解析】选C.如图,过B作BECD,连接DE,AE,则四边形BCDE为正方形,∠ABE为直线AB与CD所成角,∠ADE为直线AD与BC所成角.因为AB=BC=CD=BE,∠ABE=60°,所以AB=BE=AE.因为AB⊥BC,所以AB⊥DE,又BE⊥DE,AB∩BE=B,所以DE⊥平面ABE,所以DE⊥AE,所以△AED为等腰直角三角形,所以∠ADE=
    45°.

    【拓展延伸】求异面直线所成角的方法
    求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角,主要途径有:利用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线分线段成比例的性质等,如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方形,达到平移的目的.
    【补偿训练】(2016·台州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1D与D1C所成的角为 (  )

    A.30°    B.45°    C.60°    D.90°
    【解析】选C.由题可知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B∥D1C,所以异面直线A1D与D1C所成的角与直线A1D与A1B所成的角相等,连接A1B,BD,∠BA1D为所求角,设正方体的棱长为1,在△A1DB中,三条边长均为,故∠BA1D=60°.
    4.(2016·北京高二检测)已知直线m和平面α,β,则下列四个命题中正确的是 (  )
    A.若α⊥β,m⊂β,则m⊥α                B.若α∥β,m⊥α,则m⊥β
    C.若α∥β,m∥α,则m∥β                D.若m∥α,m∥β,则α∥β
    【解析】选B.若α⊥β,m⊂β,则直线m与平面α相交,或直线m在平面α内,或直线m与平面α平行,所以选项A不正确;若α∥β,m∥α,则直线m与平面β平行,或直线m在平面β内,所以选项C不正确.若m∥α,m∥β,则α∥β或α与β相交,所以选项D不正确.
    5.(2016·辽宁师大附中高一检测)如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是 (  )

    A.CF⊥平面PAD                    B.DF⊥平面PAF
    C.CF∥平面PAB                    D.CD∥平面PAF
    【解析】选A.因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC.则AF∥CD,由线面平行的判定定理,可得CD∥平面PAF,故D正确;DF⊥AF,DF⊥PA,由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF,故B正确;CF∥AB,由线面平行的判定定理,可得CF∥平面PAB,故C正确;CF与AD不垂直,故A中,CF⊥平面PAD不正确.
    6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中 (  )
    A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
    B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
    C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
    D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
    【解析】选B.A错误.理由如下:过A作AE⊥BD,垂足为E,连接CE,


    若直线AC与直线BD垂直,则可得BD⊥平面ACE,
    于是BD⊥CE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.
    B正确.理由:翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC⊥平面BCD,此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC,于是有AB⊥CD.故B正确.
    C错误.理由如下:若直线AD与直线BC垂直,则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD,于是BC⊥AC,但是AB<BC,在△ABC中∠ACB不可能是直角.故直线AD与直线BC不垂直.由以上分析显然D错误.
    二、填空题(每小题5分,共20分)
    7.下列说法:①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网]
    ③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α.
    其中正确说法的序号是________.
    【解析】①中b可能在α内;②a与b还可能异面或者垂直;③a还可能与α内的直线异面或垂直.
    答案:④
    8.如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,当点E满足条件:________时,SC∥平面EBD.

    【解析】当点E是SA的中点时,连接AC.
    设AC与BD的交点为O,连接EO.
    因为四边形ABCD是平行四边形,
    所以点O是AC的中点.
    又E是SA的中点,所以OE是△SAC的中位线.
    所以OE∥SC.因为SC⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,
    所以SC∥平面EBD.
    答案:点E是SA的中点
    9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点,则
    ①棱AB与PD所在直线垂直;
    ②平面PBC与平面ABCD垂直;
    ③△PCD的面积大于△PAB的面积;
    ④直线AE与直线BF是异面直线.[来源:学科网]
    以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
    【解析】由条件可得AB⊥平面PAD,
    所以AB⊥PD,故①正确;
    若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,
    得PB⊥平面ABCD,从而PA∥PB,这是不可能的,故②错;
    S△PCD=CD·PD,S△PAB=AB·PA,
    由AB=CD,PD>PA知③正确;
    由E,F分别是棱PC,PD的中点,
    可得EF∥CD,又AB∥CD,
    所以EF∥AB,故AE与BF共面,④错.
    答案:①③
    10.(2016·西宁高二检测)在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB中点,则CM与平面ABD所成角的正弦值为________.
    【解析】如图所示,取BD中点O,连接CO,MO,由已知条件BC=CD=1,所以BD⊥CO,由平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CO⊥平面ABD,则∠CMO即为直线CM与平面ABD所成的角,由AB⊥AD,所以BD=,则得到BC⊥CD,所以CO=BD=,MO=AD=,所以在Rt△COM中,CM==,所以sin∠CMO===.[来源:Z§xx§k.Com]

    答案:
    三、解答题(共4小题,共50分)
    11.(12分)(2016·台州高二检测)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,点M,N分别是AB,PC的中点,PA=AD=a.

    (1)求证:MN∥平面PAD.
    (2)求证:平面PMC⊥平面PCD.
    【证明】(1)设PD的中点为点E,连接AE,NE,由点N为PC的中点知ENDC,又ABCD是矩形,所以DCAB,所以ENAB,又点M是AB的中点,所以ENAM,所以AMNE是平行四边形,所以MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.

    (2)因为PA=AD,所以AE⊥PD,又因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA,而CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE,因为PD∩CD=D,所以AE⊥平面PCD,因为MN∥AE,所以MN⊥平面PCD,又MN⊂平面PMC,所以平面PMC⊥平面PCD.
    【补偿训练】(2016·济南高一检测)如图所示,平面四边形PACB中,∠PAB为直角,△ABC为等边三角形,现把△PAB沿着AB折起,使得△APB与△ABC垂直,且点M为AB的中点.

    (1)求证:平面PAB⊥平面PCM.
    (2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.
    【解析】(1)因为平面APB⊥平面ABC且交线为AB,又因为∠PAB为直角,所以AP⊥平面ABC,故AP⊥CM,又因为△ABC为等边三角形,点M为AB的中点,所以CM⊥AB,又因为PA∩AB=A,所以CM⊥平面PAB,又CM⊂平面PCM,所以平面PAB⊥平面PCM.
    (2)假设PA=a,则AB=2a,再设B到平面PMC的距离为hB.则VP-MBC=VB-PMC
    =PA·S△MBC=hB·SPMC,在直角三角形PAM中,由PA=AM=a,得PM=a,在等边三角形ABC中,AB边上的高CM=a,而三角形PMC为直角三角形,故面积为
    S△PMC=CM·PM=·a·a=a2.
    又S△MBC=S△ABC=a2.所以a·a2=hB·a2.
    故hB=a.[来源:学科网ZXXK]
    所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值
    sinθ===.
    12.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.
    (1)求证:BC⊥平面PAC.
    (2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由.
    【解析】(1)因为PA⊥底面ABC,
    所以PA⊥BC.又∠BCA=90°,
    所以AC⊥BC.
    又因为AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.
    (2)因为DE∥BC,
    又由(1)知,BC⊥平面PAC,
    所以DE⊥平面PAC.
    又因为AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,
    所以DE⊥AE,DE⊥PE.
    所以∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.
    因为PA⊥底面ABC,所以PA⊥AC,
    所以∠PAC=90°.
    所以在棱PC上存在一点E,
    使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°,
    故存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角.
    13.(13分)(2016·杭州高二检测)已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面相互垂直,AD⊥DC,AB∥DC,AB=AD=DE=4,DC=8,

    (1)证明:BD⊥平面BCF.
    (2)设二面角E-BC-D的平面角为α,求sinα.
    (3)M为AD的中点,在DE上是否存在一点P,使得MP∥平面BCE?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.
    【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面CDEF,且矩形CDEF中FC⊥DC,所以FC⊥
    面ABCD,FC⊥DB,在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC,又FC∩BC=C,所以BD⊥
    平面BCF.
    (2)因为FC⊥平面ABCD,ED∥FC,所以ED⊥平面ABCD,又DB⊥BC,所以EB⊥BC,所以∠EBD为二面角E-BC-D的平面角α,
    所以sinα=sin∠EBD===.

    (3)猜想DP=1.取ED,EC的四等分点P,Q,使得ED=4PD,EC=4QC,则PQ∥CD,PQ=CD=6,取BC中点N,连接MN,NQ,则MN∥CD,MN=(CD+AB)=6,所以PQ

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