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课时提升作业(十三)
习题课——函数奇偶性的应用
(15分钟　30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若点(-1,3)在奇函数y=f(x)的图象上,则f(1)等于　(　　)
A.0　　　　B.-1　　　　C.3　　　　D.-3
【解析】选D.由题意知,f(-1)=3,因为f(x)为奇函数,所以-f(1)=3,f(1)=-3.
2.已知函数f(x)=x2,则下列描述中,正确的是　(　　)
A.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
C.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
【解析】选B.结合函数f(x)=x2的图象可知,该函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
【补偿训练】若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是　(　　)
A.单调递增的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递减的偶函数 D.单调递增的奇函数
【解析】选B.因为f(x)=x3是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x3也是奇函数,因为f(x)=x3单调递增,所以y=-x3单调递减.
3.(2015·唐山高一检测)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6,那么f(x)在区间[-5,-2]上有(　　)
A.最小值6 B.最小值-6
C.最大值-6 D.最大值6
【解析】选C.因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6,所以可设a∈[2,5],有f(a)=6.由奇函数的性质,f(x)在[-5,-2]上必有最大值,且其值为f(-a)=-f(a)=-6.
【补偿训练】如果偶函数在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]
上　(　　)
A.有最大值 B.有最小值
C.没有最大值 D.没有最小值
【解析】选A.偶函数图象关于y轴对称,在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]上也有最大值.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.设函数f(x)=ax3+bx+c的图象如图所示,则f(a)+f(-a)=　　　　　　.
【解析】由图象知f(x)是奇函数,
所以f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.
答案:0
5.(2015·威海高一检测)如果定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在
(0,+∞)内是减函数,又有f(3)=0,则x·f(x)<0的解集为　　　　.
【解析】由题意可画出函数f(x)的草图.当x>0时,f(x)<0,所以x>3;当x<0时,f(x)>0,所以x<-3.
综上x>3或x<-3.
答案:{x|x<-3或x>3}
三、解答题
6.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.
【解析】因为x<0,所以-x>0,
所以f(-x)=(-x)|(-x)-2|.
又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|
=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)=x|x+2|.
(15分钟　30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是　(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)·g(x)|是奇函数
【解析】选C.设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,故A错,同理可知B,D错,C正确.
2.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,则下列关系式中,正确的是　(　　)
A.f(5)>f(-5) B.f(4)>f(3)
C.f(-2)>f(2) D.f(-8)=f(8)
【解析】选C. f(x)在[0,+∞)上是减函数,且是奇函数,所以当x>0时,f(x)f(0)=0.
【补偿训练】若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是　(　　)
A.(-∞,2) B.(-2,2)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选B.由题意知f(-2)=f(2)=0,
当x∈(-2,0]时,f(x)二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·信阳高一检测)已知定义域为R的函数f(x)在(-5,+∞)上为减函数,且函数y=f(x-5)为偶函数,设a=f(-6),b=f(-3),则a,b的大小关系为　　　　.
【解析】因为函数y=f(x-5)为偶函数,所以图象关于x=0对称,
又因为由y=f(x-5)向左平移5个单位可得函数y=f(x)的图象,
所以y=f(x)的图象关于x=-5对称,
因为函数f(x)在(-5,+∞)上为减函数,
所以a=f(-6)=f(-4)>b=f(-3),
所以a>b.
答案:a>b
4.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为　　　　.
【解析】由题意,x=2x-3或-x=2x-3,
所以x=3或x=1,
所以方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为4.
答案:4
三、解答题
5.(10分)(2015·宿州高一检测)已知分段函数f(x)是奇函数,x∈(0,+∞)时的解析式为f(x)=.
(1)求f(-1)的值.
(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.
(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
【解析】(1)f(-1)=-f(1)=-=-.
(2)任取x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),
所以f(-x)=,
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=,
所以f(x)=,x∈(-∞,0).
(3)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,证明如下:
任取x1,x2为区间(0,+∞)上的两个不相等的实数,
且x1则f(x2)-f(x1)=-
==.
因为x1>0,x2>0,
所以(x2+1)>0,(x1+1)>0,
又x2-x1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
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