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首页 高二 高中数学选修2-2课时作业:第二章 推理与证明2.1.2演绎推理 Word版含解析

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  • 资源类别:高二试卷
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
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  • 整理时间:2021-04-06
  • 2.1.2 演绎推理
    明目标、知重点
    1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
    1.演绎推理
    含义
    从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理
    特点
    由一般到特殊的推理
    2.三段论
    一般模式
    常用格式
    大前提
    已知的一般原理
    M是P
    小前提
    所研究的特殊情况
    S是M
    结论
    根据一般原理,对特殊情况做出的判断
    S是P
    情境导学]
    小明是一名高二年级的学生,17岁,迷恋上网络,沉迷于虚拟的世界当中.由于每月的零花钱不够用,便向亲戚邻人要钱,但这仍然满足不了需求,于是就产生了歹念,强行向路人抢取钱财.但小明却说我是未成年人而且就抢了50元,这应该不会很严重吧?如果你是法官,你会如何判决呢?小明到底是不是犯罪呢?
    探究点一 演绎推理与三段论
    思考1 分析下面几个推理,找出它们的共同点.
    (1)所有的金属都能导电,铀是金属,所以铀能够导电;
    (2)一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除;
    (3)三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,因此tan α是周期函数;
    (4)两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180°.
    答 问题中的推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理叫演绎推理.
    思考2 演绎推理有什么特点?
    答 演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是一般性原理,结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实.
    思考3 演绎推理的结论一定正确吗?
    答 在演绎推理中,前提和结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理形式是正确的,结论必定是正确的.
    思考4 演绎推理一般是怎样的模式?
    答 “三段论”是演绎推理的一般模式,它包括:
    (1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
    例1 将下列演绎推理写成三段论的形式.
    (1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分;
    (2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的底角,则∠A=∠B;
    (3)通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.
    解 (1)平行四边形的对角线互相平分, 大前提
    菱形是平行四边形, 小前提
    菱形的对角线互相平分. 结论
    (2)等腰三角形的两底角相等, 大前提
    ∠A,∠B是等腰三角形的底角, 小前提
    ∠A=∠B. 结论
    (3)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列, 大前提
    通项公式为an=2n+3时,若n≥2,
    则an-an-1=2n+3-2(n-1)+3]=2(常数), 小前提
    通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列. 结论
    反思与感悟 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至也可把大前提与小前提都省略,在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
    跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式:
    (1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;
    (2)函数y=2x+5的图象是一条直线;
    (3)y=sin x(x∈R)是周期函数.
    解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形, 大前提
    △ABC三边的长依次为3,4,5,而32+42=52, 小前提
    △ABC是直角三角形. 结论
    (2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线, 大前提
    函数y=2x+5是一次函数, 小前提
    函数y=2x+5的图象是一条直线. 结论
    (3)三角函数是周期函数, 大前提
    y=sin x(x∈R)是三角函数, 小前提
    y=sin x(x∈R)是周期函数. 结论
    探究点二 三段论推理中的易错点
    例2 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因:
    (1)整数是自然数, 大前提
    -3是整数, 小前提
    -3是自然数. 结论
    (2)常函数的导函数为0, 大前提
    函数f(x)的导函数为0, 小前提
    f(x)为常函数. 结论
    (3)无限不循环小数是无理数, 大前提
    (0.333 33…)是无限不循环小数, 小前提
    是无理数. 结论
    解 (1)结论是错误的,原因是大前提错误.自然数是非负整数.
    (2)结论是错误的,原因是推理形式错误.大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”,因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”.
    (3)结论是错误的,原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数.
    反思与感悟 演绎推理的结论是否正确,取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确,因此,分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.
    跟踪训练2 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因:
    (1)因为中国的大学分布在中国各地,大前提
    北京大学是中国的大学,小前提
    所以北京大学分布在中国各地.结论
    (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,大前提
    而菱形是所有边长都相等的凸多边形,小前提
    所以菱形是正多边形.结论
    解 (1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”,它表示中国的各所大学,而小前提中M虽然也是“中国的大学”,但它表示中国的一所大学,二者是两个不同的概念,故推理形式错误.(2)结论是错误的,原因是大前提错误.因为所有边长都相等,内角也都相等的凸多边形才是正多边形.
    探究点三 三段论的应用
    例3 如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求证:AB的中点M到点D,E的距离相等.
    证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 大前提
    在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=90°, 小前提
    所以△ABD是直角三角形. 结论
    同理,△AEB也是直角三角形.
    (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提
    因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线, 小前提
    所以DM=AB. 结论
    同理EM=AB.
    所以DM=EM.
    反思与感悟 应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才能得出正确的结论.如果大前提是显然的,则可以省略.
    跟踪训练3 已知:在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,如图所示,求证:EF∥平面BCD.
    证明 三角形的中位线平行于底边,大前提
    点E、F分别是AB、AD的中点,小前提
    所以EF∥BD.结论
    若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行,大前提
    EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,EF∥BD,小前提
    EF∥平面BCD.结论
    1.下面几种推理过程是演绎推理的是(  )
    A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
    B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人
    C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质
    D.在数列{an}中a1=1,an=(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
    答案 A
    解析 A是演绎推理,B、D是归纳推理,C是类比推理.
    2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),又y=logx是对数函数(小前提),所以y=logx是增函数(结论).”下列说法正确的是(  )
    A.大前提错误导致结论错误
    B.小前提错误导致结论错误
    C.推理形式错误导致结论错误
    D.大前提和小前提都错误导致结论错误
    答案 A
    解析 y=logax是增函数错误.故大前提错.
    3.把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提:____________;
    小前提:____________;
    结论:____________.
    答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y=x2+x+1是二次函数 函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线
    4.如图,在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上的高,求证:∠ACD>BCD.
    证明:在△ABC中,
    因为CD⊥AB,AC>BC, ①
    所以AD>BD, ②
    于是∠ACD>∠BCD. ③
    则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)
    答案 ③
    解析 由AD>BD,得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中,大边对大角”,小前提是“AD>BD”,而AD与BD不在同一三角形中,故③错误.
    呈重点、现规律]
    1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方法;只要前提和推理形式正确,通过演绎推理得到的结论一定正确.
    2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的大前提.
    一、基础过关
    1.下列表述正确的是(  )
    ①归纳推理是由部分到整体的推理;
    ②归纳推理是由一般到一般的推理;
    ③演绎推理是由一般到特殊的推理;
    ④类比推理是由特殊到一般的推理;
    ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
    A.①②③ B.②③④
    C.②④⑤ D.①③⑤
    答案 D
    解析 根据归纳推理,演绎推理,类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确.
    2.下列说法不正确的是(  )
    A.演绎推理是由一般到特殊的推理
    B.赋值法是演绎推理
    C.三段论推理的一个前提是肯定判断,结论为否定判断,则另一前提是否定判断
    D.归纳推理的结论都不可靠
    答案 D
    3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin (x2+1)是奇函数.以上推理(  )
    A.结论正确 B.大前提不正确
    C.小前提不正确 D.全不正确
    答案 C
    解析 由于函数f(x)=sin (x2+1)不是正弦函数.故小前提不正确.
    4.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是(  )
    A.正方形都是对角线相等的四边形
    B.矩形都是对角线相等的四边形
    C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
    D.矩形都是对边平行且相等的四边形
    答案 B
    解析 利用三段论分析:
    大前提:矩形都是对角线相等的四边形;
    小前提:四边形ABCD是矩形;
    结论:四边形ABCD的对角线相等.
    5.给出演绎推理的“三段论”:
    直线平行于平面,则平行于平面内所有的直线;(大前提)
    已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α;(小前提)
    则直线b∥直线a.(结论)
    那么这个推理是(  )
    A.大前提错误 B.小前提错误
    C.推理形式错误 D.非以上错误
    答案 A
    6.下列几种推理过程是演绎推理的是(  )
    A.5和2可以比较大小
    B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
    C.东升高中高二年级有15个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人
    D.预测股票走势图
    答案 A
    7.用三段论证明:直角三角形两锐角之和为90°.
    证明 因为任意三角形内角之和为180°(大前提),而直角三角形是三角形(小前提),所以直角三角形内角之和为180°(结论).
    设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B,则有∠A+∠B+90°=180°,因为等量减等量差相等(大前提),(∠A+∠B+90°)-90°=180°-90°(小前提),所以∠A+∠B=90°(结论).
    二、能力提升
    8.在求函数y=的定义域时,第一步推理中大前提是当有意义时,a≥0;小前提是有意义;结论是__________________.
    答案 y=的定义域是4,+∞)
    解析 由大前提知log2x-2≥0,解得x≥4.
    9.已知三条不重合的直线m、n、l,两个不重合的平面α、β,有下列命题:
    ①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
    ②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;
    ③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
    ④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
    其中正确的命题个数是(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    答案 B
    解析 ①中,m还可能在平面α内,①错误;②正确;③中,m与n相交时才成立,③错误;④正确.故选B.
    10.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界):
    其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号).
    答案 ②③
    11.用演绎推理证明函数f(x)=|sin x|是周期函数.
    证明 大前提:若函数y=f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x+T)=f(x)(T为非零常数),则它为周期函数,T为它的一个周期.
    小前提:f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x).
    结论:函数f(x)=|sin x|是周期函数.
    12.设a>0,f(x)=+是R上的偶函数,求a的值.
    解 ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),
    ∴(a-)(ex-)=0对于一切x∈R恒成立,
    由此得a-=0,
    即a2=1.又a>0,
    ∴a=1.
    三、探究与拓展
    13.设f(x)=,g(x)=(其中a>0且a≠1).
    (1)5=2+3请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;
    (2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.
    解 (1)由f(3)g(2)+g(3)f(2)=×+×=
    又g(5)=,因此,
    g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).
    (2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),
    即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2),
    于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).
    证明:因为f(x)=,g(x)=,(大前提)
    所以g(x+y)=,
    g(y)=,f(y)=,(小前提及结论)
    所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=×+×
    ==g(x+y).
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