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阶段质量检测(一)
(A卷　学业水平达标)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是(　　)
A．330°　　　　　　　　 　B．210°
C．150° D．30°
答案：B
2．若－<α<0，则点P(tan α，cos α)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
3．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin 120°，cos 120°)，则α可以是(　　)
A．60° B．330°
C．150° D．120°
答案：B
4．若sin2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝(　　)
A．1 B.
C．－ D．－1
答案：D
5．函数f(x)＝tan的单调增区间为(　　)
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案：C
6．已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：C
7．函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值之和为(　　)
A.　　　 　B．2　　　　C．0　　　　D.
答案：A
8．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
答案：A
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin或y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
答案：C
10．函数f(x)＝Asin ωx(ω>0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么f等于(　　)
A．a B．2a
C．3a D．4a
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知sin(π－α)＝－，且α∈，则tan(2π－α)＝________.
解析：sin(π－α)＝sin α＝－，
∵α∈，
∴cos α＝＝，tan(2π－α)＝－tan α＝－＝.
答案：
12．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．
解析：∵sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝.又0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.
∴sin θ－cos θ＝－
＝－＝－.
答案：－
13．定义运算a*b为a*b＝例如1]　　　　.
解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为.
答案：
14．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________.
解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于－＝＝，即周期为，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点，所以0＝Atan，
即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，
又|φ|＜，所以φ＝.再由图象过定点(0,1)，
所以A＝1.综上可知f(x)＝tan.
故有f＝tan＝tan ＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
解：由＝－1，得tan α＝.
(1)＝＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2
＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)
＝
＝
＝
＝.
16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角，
且f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝－cos α.
(2)∵cos＝sin α＝，
∴sin α＝.又∵α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－.
∴f(α)＝－＝.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”作出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：(1)∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)在y轴上的截距为1，最大值为2，∴A＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝.
又∵|φ|<，∴φ＝.
∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)，
∴T＝2[(x0＋3π)－x0]＝6π，
∴ω＝＝＝.
∴函数的解析式为f(x)＝2sin.
(2)将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得函数的解析式为y＝2sin，再向右平移个单位后，得g(x)＝2sin＝2sin.
列表如下：
x－
0
π
2π
x
g(x)
0
2
0
－2
0
描点并连线，得g(x)在一个周期的闭区间上的图象如下图．
18.(本小题满分14分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)x∈R，ω>0,0≤θ≤的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解：(1)把(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，
得cos θ＝.
∵0≤θ≤，∴θ＝.
∵T＝π，且ω>0，
∴ω＝＝＝2.
(2)∵点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
∴点P的坐标为.
∵点P在y＝2cos的图象上，
且≤x0≤π，
∴cos＝，且≤4x0－≤.
∴4x0－＝或4x0－＝.
∴x0＝或x0＝.
(B卷　能力素养提升)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知cos θ tan θ<0，那么角θ是(　　)
A．第一或第二象限象
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
解析：选C　若cos θtan θ<0，
则cos θ>0，tan θ<0，或cos θ<0，tan θ>0.
当cos θ>0，tan θ<0时，角θ是第四象限角；
当cos θ<0，tan θ>0时，角θ是第三象限角．
2．(陕西高考)函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)
A. B．π
C．2π D．4π
解析：选B　∵T＝＝＝π，∴B正确．
3．函数y＝cos x·tan x的值域是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．[－1,1]
C．(－1,1)
D．[－1,0]∪(0,1)
解析：选C　化简得y＝sin x，由cos x≠0，得sin x≠±1.故得函数的值域(－1,1)．
4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　)
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
解析：选B　根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.
5．已知α＝，则点P(sin α，tan α)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　∵<<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P在第四象限．
6．函数y＝2sin的图象(　　)
A．关于原点成中心对称
B．关于y轴成轴对称
C．关于点成中心对称
D．关于直线x＝成轴对称
解析：选C　由形如y＝Asin(ωx＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f＝0，故函数的图象关于点成中心对称．
7．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
解析：选D　当sin x，y＝2sin x．故选D.
8．已知角α的终边上一点的坐标为sin，cos，则角α的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意知，tan α＝＝.
所以α的最小正值为.
9．函数y＝cos的单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.(以上k∈Z)
解析：选B　函数y＝cos－2x＝cos2x－，根据余弦函数的增区间是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，得2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故选B.
10．函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.∵x∈，∴cos x∈，∴当cos x＝－，即x＝时，ymax＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1，(1≤x≤44，x∈N)，
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.
答案：
12．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
解析：y＝sin 2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)．
由f＝sin＝±1，
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝，
∴φ＝或作出y＝sin 2x的图象观察易知φ＝－＝.
答案：
13．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos＋α＋sin·sin(π－α)的值为________．
解析：∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2，
∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α
＝2sin2α－sin αcos α＝＝
＝＝＝2.
答案：2
14．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.
解析：由已知T＝π，∴ω＝2，θ＝kπ＋(k∈Z)．
答案：2　
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解：(1)∵sin A＋cos A＝ ①，
∴①式两边平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－.
(2)由(1)sin Acos A＝－，且A∈(0，π)，可得sin A>0，cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，又sin A>0，cos A<0，
∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝ ②，∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝－.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋·sin2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)画出函数y＝f(x)在区间上的图象．
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，
当sin＝1时，f(x)取得最大值1＋.
(2)由(1)知：
x
－
－
－
y
2
1
1－
1
1＋
2
故函数y＝f(x)在区间上的图象如图所示．
17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝3sinωx＋，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f＝，求sinα的值．
解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.
(2)∵f(x)的最小正周期为，
∴ω＝＝4.
∴f(x)＝3sin.
(3)由f＝3sin＝3cos α＝，
∴cos α＝.
∴sin α＝±＝±.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，且ω>0,0<φ<的部分图象如图所示．
(1)求A，ω，φ的值；
(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．
解：(1)由图象易知A＝1，函数f(x)的周期为
T＝4×＝2π，∴ω＝1.
∵π－＝，
∴此函数的图象是由y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度得到的，故φ＝.
(2)由(1)知函数解析式为f(x)＝sin.
∴方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)，x∈与y＝a有两个交点．
当x＝0时，f(x)＝，
∴a∈时，y＝a与y＝f(x)有两个交点；
当x＝π时，f(x)＝0，
∴a∈(－1,0)时，y＝a与y＝f(x)也有两个交点，
故所求a∈∪(－1,0)．