好教案logo
首页 高二 高中数学选修2-2课时训练 直接证明与间接证明2.2.2 Word版含答案

本文由 mqb630 收集发布,转载请注明出处,如有问题请联系我们!高中数学选修2-2课时训练 直接证明与间接证明2.2.2 Word版含答案

  • 资源类别:高二试卷
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:93k
  • 浏览次数:741
  • 整理时间:2021-04-06
  • 2.2.2 反证法
    [学习目标]
    1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
    2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.
    [知识链接]
    1.有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题,这种说法对吗?为什么?
    答 这种说法是错误的,反证法是先否定命题,然后再证明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确,不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的,原命题正确,其命题的否定一定不对.
    2.反证法主要适用于什么情形?
    答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.
    [预习导引]
    1.反证法定义
    假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法.
    2.反证法常见的矛盾类型
    反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
    要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题
    例1 已知x,y>0,且x+y>2.
    求证:,中至少有一个小于2.
    证明 假设,都不小于2,
    即≥2,≥2.
    ∵x,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x.
    ∴2+x+y≥2(x+y),
    即x+y≤2与已知x+y>2矛盾.
    ∴,中至少有一个小于2.
    规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法,对于此类问题,需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义,弄清结论的否定是什么,避免出现证明遗漏的错误.
    跟踪演练1 已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
    证明 假设a,b,c,d都是非负数,
    ∵a+b=c+d=1,
    ∴(a+b)(c+d)=1.
    又∵(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,
    ∴ac+bd≤1.
    这与已知ac+bd>1矛盾,
    ∴a,b,c,d中至少有一个是负数.
    要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题
    例2 求证对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称.
    证明 假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直;(2)点A、B在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB的中点在直线y=ax上,所以
    由得(3-k2)x2-2kx-2=0.④
    当k2=3时,l与双曲线仅有一个交点,不合题意.
    由②、③得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2⑤
    由④知x1+x2=,代入⑤整理得:
    ak=3,这与①矛盾.
    所以假设不成立,故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.
    规律方法 证明“唯一性”问题的方法:“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.
    跟踪演练2 求证方程2x=3有且只有一个根.
    证明 ∵2x=3,∴x=log23,这说明方程2x=3有根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的:
    假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2),
    则2b1=3,2b2=3,
    两式相除得2b1-b2=1.
    若b1-b2>0,则2b1-b2>1,这与2b1-b2=1相矛盾.
    若b1-b2<0,则2b1-b2<1,这也与2b1-b2=1相矛盾.
    ∴b1-b2=0,则b1=b2.
    ∴假设不成立,从而原命题得证.
    要点三 用反证法证明否定性命题
    例3 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
    (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
    (2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
    (1)解 设公差为d,由已知得
    ∴d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).
    (2)证明 由(1)得bn==n+.
    假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列,则b=bpbr,
    即(q+)2=(p+)(r+),
    ∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
    ∵p,q,r∈N*,

    ∴2=pr,(p-r)2=0,
    ∴p=r,这与p≠r矛盾.
    所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
    规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.
    (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.
    跟踪演练3 已知f(x)=ax+(a>1),证明方程f(x)=0没有负数根.
    证明 假设x0是f(x)=0的负数根,则x0<0且x0≠-1且ax0=-,由0解得故方程f(x)=0没有负数根.
    1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设(  )
    A.三角形中至少有一个直角或钝角
    B.三角形中至少有两个直角或钝角
    C.三角形中没有直角或钝角
    D.三角形中三个角都是直角或钝角
    答案 B
    2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中(  )
    A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
    C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°
    答案 B
    3.“aA.a≠b B.a>b
    C.a=b D.a=b或a>b
    答案 D
    4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设(  )
    A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c
    C.a⊥b D.a与b相交
    答案 D
    5.已知a是整数,a2是偶数,求证a也是偶数.
    证明 (反证法)假设a不是偶数,即a是奇数.
    设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.
    ∵4(n2+n)是偶数,
    ∴4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾.
    由上述矛盾可知,a一定是偶数.
    1.反证法证明的基本步骤
    (1)假设命题结论的反面是正确的;(反设)
    (2)从这个假设出发,经过逻辑推理,推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾;(推谬)
    (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论是正确的.(结论)
    2.用反证法证题要把握三点:
    (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.
    (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.
    (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
    一、基础达标
    1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是(  )
    ①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
    A.①② B.①③
    C.①③④ D.①②③④
    答案 D
    2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为(  )
    A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
    C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
    答案 C
    解析 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.
    3.有下列叙述:①“a>b”的反面是“ay或xA.0个 B.1个
    C.2个 D.3个
    答案 B
    解析 ①错:应为a≤b;②对;③错:应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;④错:应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.
    4.用反证法证明命题:“a、b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为(  )
    A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除
    C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除
    答案 B
    解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b都不能被5整除”.
    5.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为________
    答案 a,b,c都不是偶数
    解析 a,b,c中存在偶数即至少有一个偶数,其否定为a,b,c都不是偶数.
    6.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.
    答案 存在一个三角形,其外角最多有一个钝角
    解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有一个”.
    7.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证f(x)=0无整数根.
    证明 设f(x)=0有一个整数根k,则
    ak2+bk=-c. ①
    又∵f(0)=c,f(1)=a+b+c均为奇数,
    ∴a+b为偶数,当k为偶数时,显然与①式矛盾;
    当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),
    则ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)为偶数,也与①式矛盾,故假设不成立,所以方程f(x)=0无整数根.
    二、能力提升
    8.已知x1>0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,…),试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时应为(  )
    A.对任意的正整数n,有xn=xn+1
    B.存在正整数n,使xn=xn+1
    C.存在正整数n,使xn≥xn+1
    D.存在正整数n,使xn≤xn+1
    答案 D
    解析 “任意”的反语是“存在一个”.
    9.设a,b,c都是正数,则三个数a+,b+,c+(  )
    A.都大于2
    B.至少有一个大于2
    C.至少有一个不小于2
    D.至少有一个不大于2
    答案 C
    解析 假设a+<2,b+<2,c+<2,
    则++<6.
    又++=++≥2+2+2=6,这与假设得到的不等式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于2.
    10.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是________.
    答案 a≤-2或a≥-1
    解析 若两方程均无实根,则Δ1=(a-1)2-4a2=(3a-1)(-a-1)<0,∴a<-1或a>.Δ2=(2a)2+8a=4a(a+2)<0,∴-211.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证a>0,b>0,c>0.
    证明 用反证法:
    假设a,b,c不都是正数,由abc>0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,
    不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,
    可得c>-(a+b),
    又a+b<0,∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)
    ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab
    即ab+bc+ca<-a2-ab-b2
    ∵a2>0,ab>0,b2>0,∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即ab+bc+ca<0,
    这与已知ab+bc+ca>0矛盾,所以假设不成立.
    因此a>0,b>0,c>0成立.
    12.已知a,b,c∈(0,1),求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于.
    证明 假设三个式子同时大于,
    即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,
    三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c>, ①
    又因为0同理0所以(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤, ②
    ①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.
    三、探究与创新
    13.已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R.证明下面两个命题:
    (1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);
    (2)若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0.
    证明 (1)因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,
    又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)>f(-b),
    f(b)>f(-a),
    由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
    (2)假设a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,
    因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a),
    所以f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),
    这与已知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾,
    所以假设不正确,所以原命题成立.
    标签
    mqb630

    mqb630

    0

    0

    0

    标签云

    img

    高中数学选修2-2课时训练 直接证明与间接证明2.2.2 Word版含答案

    下载积分 钻石会员
    1 免费
    请您 登录后 下载 !
    说明

    您下载所消耗的积分将转交上传作者。上传资源,免费获取积分!