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首页 高二 高中数学选修2-2预习导航 定积分的概念(第2课时) Word版含解析

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  • 资源类别:高二试卷
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:1101k
  • 浏览次数:729
  • 整理时间:2021-04-06
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    课程目标
    学习脉络
    1.了解定积分的概念.
    2.理解定积分的几何意义.
    3.掌握定积分的基本性质.
    1.定积分的概念
    一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<x2<…<xi…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式(ξi)Δx=f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx=f(ξi),这里a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
    思考1在定积分的定义中,对区间[a,b]的分法是否是任意的?ξi的取法是否是任意的?
    提示:定积分定义中,对于区间[a,b]的分法是任意的,不一定是等分,只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以,采用等分的方式是为了便于作和.另外,关于ξi的取法也是任意的,实际用定积分定义计算定积分时为了方便,常把ξi都取为每个小区间的左(或右)端点.
    思考2定积分f(x)dx中,定积分的值与积分变量、积分区间有关系吗?
    提示:定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即f(x)dx=f(u)du=f(t)dt=…(称为积分形式的不变性),另外定积分f(x)dx与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分上限与下限不同,所得的值也就不同,例如(x2+1)dx与(x2+1)dx的值就不同.
    2.定积分的几何意义
    如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.
    思考3在区间[a,b]上函数f(x)<0时,f(x)dx表示的含义是什么?
    提示:如果在区间[a,b]上,函数f(x)<0,那么曲边梯形位于x轴的下方,如图所示.
    由于Δxi>0,f(ξi)<0,故f(ξi)·Δxi<0,从而定积分f(x)dx<0,这时它等于图中所示曲边梯形面积S的相反数,即f(x)dx=-S或S=f(x)dx.
    3.定积分的基本性质
    (1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数);
    (2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx;
    (3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).
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