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第三章　3.4　第1课时
一、选择题
1．函数f(x)＝的最大值为 (　　)
A.　 B．
C.　 D．1
[答案]　B
[解析]　令t＝(t≥0)，则x＝t2，
∴f(x)＝＝.
当t＝0时，f(x)＝0；
当t>0时，f(x)＝＝.
∵t＋≥2，∴0<≤.
∴f(x)的最大值为.
2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 (　　)
A．ab≤　 B．ab≥
C．a2＋b2≥2　 D．a2＋b2≤3
[答案]　C
[解析]　∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，
∴b＝2－a(0≤a≤2)，
∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1.
∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；
a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4
＝2(a－1)2＋2.
∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.
3．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是 (　　)
A.　 B．a2＋b2
C．2ab　 D．a
[答案]　B
[解析]　解法一：∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，
又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，
∵1＝a＋b＞2，
∴ab＜，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，
即a2＋b2＞.故选B.
解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则
2ab＝，a2＋b2＝，
∵＞＞＞，∴a2＋b2最大．
4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为 (　　)
A．8　 B．4
C．1　 D．
[答案]　B
[解析]　根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋≥4.
当a＝b＝时“＝”成立．故选B.
5．设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则＋的最小值等于 (　　)
A．1　 B．3
C．2　 D．4
[答案]　C
[解析]　＋＝(a＋b)
＝1＋≥2，等号在a＝b＝1时成立．
6．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是 (　　)
A．0　 B．1
C．2　 D．4
[答案]　D
[解析]　由等差、等比数列的性质得
＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.
二、填空题
7．若0[答案]　
[解析]　∵00，
∴x(1－x)≤[]2＝，
等号在x＝1－x，即x＝时成立，
∴所求最大值为.
8．已知t>0，则函数y＝的最小值是________．
[答案]　－2
[解析]　∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．
三、解答题
9．已知x>0，y>0.
(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．
[解析]　(1)∵x>0，y>0，
由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.
又∵2x＋5y＝20，
∴20≥2·，
∴≤，∴xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
由，
解得.
∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.
这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.
(2)由已知，得x·y＝100，
5x＋2y≥2＝2＝20.
∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，
y＝5时，等号成立．
所以5x＋2y的最小值为20.
10．求函数y＝的最小值，其中a>0.
[解析]　当0y＝＋≥2，
当且仅当x＝±时，ymin＝2.
当a>1时，令＝t(t≥)，
则有y＝f(t)＝t＋.
设t2>t1≥>1，则f(t2)－f(t1)＝>0，
∴f(t)在[，＋∞)上是增函数．
∴ymin＝f()＝，此时x＝0.
综上，当01，x＝0时，ymin＝.
一、选择题
1．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是 (　　)
A．a2＋b2>2ab　 B．a＋b≥2
C.＋>　 D．＋≥2
[答案]　D
[解析]　a＝b时，A不成立；a、b<0时，B、C都不成立，故选D.
2．若0A．a2＋b2　 B．2
C．2ab　 D．a＋b
[答案]　D
[解析]　解法一：∵0∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，
∴a＋b>a2＋b2，故选D.
解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．
3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则 (　　)
A．x＝　 B．x≤
C．x＞　 D．x≥
[答案]　B
[解析]　∵这两年的平均增长率为x
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.
∴1＋x＝≤
＝1＋，∴x≤，
等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.
4．(2013·山西忻州一中高二期中)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是 (　　)
A.　 B．－
C．1　 D．－1
[答案]　A
[解析]　由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.
∴xy＝x(2－2x)＝≤×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值为.
二、填空题
5．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
[答案]　6
[解析]　＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.
6．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是________．
[答案]　1
[解析]　∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋
＝4x－5＋＋3＝3－
≤3－2＝1，
等号在5－4x＝，即x＝1时成立．
三、解答题
7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．
[解析]　设一条直角边长为x cm，(0面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)
等号在x＝10－x即x＝5时成立，
∴面积最大时斜边长L＝＝＝5(cm)．
8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
[解析]　设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，
故有y＝＋100x
≥2＝24 000(元)．
当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．
所以只需每批购入120台，可使资金够用．