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第三章　3.4　第2课时
一、选择题
1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　　)
A．10　　　　　　　　 B．25
C．5　 D．2
[答案]　D
[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D.
2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　)
A．100　 B．50
C．20　 D．10
[答案]　B
[解析]　由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B.
3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.>　 B．＋≤1
C.≥2　 D．≤
[答案]　D
[解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，
∴ab≤4，∴≥，
∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D.
4．已知正数x、y满足＋＝1，则xy有(　　)
A．最小值　 B．最大值16
C．最小值16　 D．最大值
[答案]　C
[解析]　∵x>0，y>0，∴＋≥2＝4，又∵＋＝1，
∴4≤1，
∴≤，
∴xy≥16，故选C.
5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．6　 B．4
C．2　 D．8
[答案]　B
[解析]　∵2a>0,2b>0，a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4，
等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝.
6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为(　　)
A．18　 B．12
C．2　 D．
[答案]　A
[解析]　∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y
≥2＝2＝2＝18，
等号在3x＝32y即x＝2y时成立．
∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.
二、填空题
7．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
[答案]　5
[解析]　∵x>0，y>0，＋＝2，
∴2≥2，∴xy≥15，
当且仅当＝，且＋＝2，即x＝5，y＝3时，取等号．
8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．
[答案]　1 760
[解析]　设水池池底的一边长为 x m，则另一边长为 m，则总造价为：
y＝480＋80××2＝480＋320
≥480＋320×2＝1 760.
当且仅当x＝ 即x＝2时，y取最小值1 760.
所以水池的最低总造价为1 760元．
三、解答题
9．已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[证明]　∵a、b、c∈R＋，，，均大于0，
又＋b≥2＝2a，
＋c≥2＝2b，
＋a≥2＝2c，
三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
10．已知a、b、c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
[证明]　∵≤，∴≥
＝(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．
同理≥(b＋c)(等号在b＝c时成立)．
≥(a＋c)(等号在a＝c时成立)．
三式相加得＋＋
≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)
＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立).
一、选择题
1．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为(　　)
A．7　 B．3
C．1＋2　 D．5
[答案]　A
[解析]　由已知得x＋3y＝2，
3x>0,27y>0，
∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，
当且仅当3x＝27y，
即x＝1，y＝时等号成立．
2．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A．6　 B．7
C．8　 D．9
[答案]　D
[解析]　∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．
∴＝·
＝·＝
＝＝＋1≥＋1＝9，故选D.
3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)
A.　 B．
C．2　 D．4
[答案]　D
[解析]　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋
≥2＋2＝4　(等号在a＝b＝时成立)．
故所求最小值为4，选D.
4．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有(　　)
A．0个　 B．1个
C．2个　 D．3个
[答案]　B
[解析]　①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2，故选B.
二、填空题
5．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为________．
[答案]　4
[解析]　∵a>0，∴(x＋y)(＋)
＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，
由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.
6．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[答案]　
[解析]　∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.
又∵xy≤()2，
∴(x＋y)2≤()2＋1，
即(x＋y)2≤1.
∴(x＋y)2≤.
∴－≤x＋y≤.
∴x＋y的最大值为.
三、解答题
7．已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．
[解析]　∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1，又a>0，b>0，
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋
≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．
由，得.
∴当a＝12，b＝6时，a＋b取最小值18.
8．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
[解析]　(1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，
∴4x＋9y≥2＝12.
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0故S的取值范围是(0,100]．
(2)当S＝100 m2时，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长15 m.