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模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为(　　)
A．6 B．1
C．2 D．4
【解析】　由题意知kAB＝＝－2，∴m＝6.
【答案】　A
2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是(　　)
A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0
【解析】　由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x－2y＋6＝0.
【答案】　C
3．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于(　　)
A．2 B.
C. D.
【解析】　设正方体的棱长为a，球的半径为R，则πR3＝π，∴R＝2.又∵a＝2R＝4，∴a＝.
【答案】　D
4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①点P到坐标原点的距离为；
②OP的中点坐标为；
③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】　点P到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.
【答案】　A
5．如图1，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1和DM所成角为(　　)
图1
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】　因为MN⊥DC，MN⊥MC，
所以MN⊥平面DCM.
所以MN⊥DM.
因为MN∥AD1，所以AD1⊥DM.
【答案】　D
6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于(　　)
图2
A．8＋2 B．11＋2
C．14＋2 D．15
【解析】　由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
【答案】　B
7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】　因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以 4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.
【答案】　C
8．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】　如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝×2＝，DE＝1.
∵tan∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°，故选C.
【答案】　C
9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(　　)
①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.
A．② B．②③
C．①③ D．②④
【解析】　对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；
对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；
对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.
【答案】　A
10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　
在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝，故选B.
【答案】　B
11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA长度的最小值为2，则k的值是(　　)
【导学号：09960153】
A．3 B.
C．2 D．2
【解析】　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，
∵PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA长度的最小值为2，∴圆心到直线kx＋y＋4＝0的最小距离为，
由点到直线的距离公式可得＝，
∵k＞0，∴k＝2，故选D.
【答案】　D
12．(2016·德州高一检测)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D­ABC的体积为(　　)
A.a3 B.
C.a3 D.
【解析】　取AC的中点O，如图，
则BO＝DO＝a，
又BD＝a，所以BO⊥DO，又DO⊥AC，
所以DO⊥平面ACB，
VD­ABC＝S△ABC·DO
＝××a2×a＝a3.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知两条平行直线的方程分别是2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数m＝________.
【解析】　由于两直线平行，所以＝≠，∴m＝4.
【答案】　4
14．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．
【解析】　设圆柱形水桶的底面半径为R，高为h，桶直立时，水的高度为x.
横放时水桶底面在水内的面积为，水的体积为
V水＝h.
直立时水的体积不变，则有V水＝πR2x，
∴x∶h＝(π－2)∶4π.
【答案】　(π－2)∶4π
15．已知一个等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，另一顶点C的轨迹方程是________．
【解析】　设点C的坐标为(x，y)，
则由|AB|＝|AC|得
＝，
化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225.
因此顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．
【答案】　(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)
16．(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
【解析】　如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.
【答案】　2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
【解】　若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；
若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝.
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
综上知，满足条件的直线方程为
l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程．
【导学号：09960154】
【解】　(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为，故圆心距为＝2，又0<2<2，故两圆相交．
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.
19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A­BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
图3
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC.
【证明】　(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP.
又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，
∴DM∥平面APC.
(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，
∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.
又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.
∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.
又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.
又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC.
20．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.
(1)求△ABC的顶点B、C的坐标；
(2)若圆M经过A、B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程．
【解】　(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，所以AC边所在直线的方程为x＝0，
又CD边所在直线的方程为2x－2y－1＝0，
所以C，
设B(b,0)，
则AB的中点D，
代入方程2x－2y－1＝0，
解得b＝2，
所以B(2,0)．
(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，①
由与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y＋x＋3＝0，②
①②联立可得，M，
半径|MA|＝＝，
所以所求圆方程为2＋2＝.
21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
图4
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E­ABC的体积．
【解】　(1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1，
又AB⊂平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥E­ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
22．(本小题满分12分)已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值.
【导学号：09960155】
【解】　(1)法一　线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x－y＝0.
解方程组
所以圆M的圆心坐标为(1,1)，
半径r＝＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二　设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(r＞0)，
根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由题知，四边形PCMD的面积为
S＝S△PMC＋S△PMD＝|CM|·|PC|＋|DM|·|PD|.
又|CM|＝|DM|＝2，|PC|＝|PD|，
所以S＝2|PC|，
而|PC|＝
＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以
|PM|min＝＝3，
所以四边形PCMD面积的最小值为
S＝2＝2＝2.