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首页 高一 高中数学选修1-1学业分层测评16 函数的单调性与导数 Word版含解析

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  • 资源类别:高一试卷
  • 所属教版:高一上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:100k
  • 浏览次数:916
  • 整理时间:2021-09-09
  • 学业分层测评
    (建议用时:45分钟)
    [学业达标]
    一、选择题
    1.函数y=f(x)的图象如图3-3-4所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是(  )
    图3-3-4
    【解析】 由函数y=f(x)的图象可知,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,函数f(x)均为减函数,故在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,f′(x)均小于0,故选D.
    【答案】 D
    2.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上(  )
    A.是增函数        B.是减函数
    C.有最大值 D.有最小值
    【解析】 ∵cos x≤1,∴f′(x)=2-cos x>0恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
    【答案】 A
    3.函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(  )
    A.(-∞,0) B.(0,+∞)
    C.(-∞,-3)和(1,+∞) D.(-3,1)
    【解析】 y′=-2xex+(3-x2)ex=(-x2-2x+3)ex,令(-x2-2x+3)ex>0,由于ex>0,则-x2-2x+3>0,解得-3【答案】 D
    4.已知函数f(x)=+ln x,则有(  )
    A.f(2)C.f(3)【解析】 因为在定义域(0,+∞)上,f′(x)=+>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以有f(2)【答案】 A
    5.(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(  )
    A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
    C.[2,+∞) D.[1,+∞)
    【解析】 由于f′(x)=k-,f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增⇔f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立.
    由于k≥,而0<<1,所以k≥1.即k的取值范围为[1,+∞).
    【答案】 D
    二、填空题
    6.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,2),则b=________,c=________. 【导学号:26160084】
    【解析】 f′(x)=3x2+2bx+c,由题意知-1【答案】 - -6
    7.函数y=ax3-1在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围为________.
    【解析】 y′=3ax2≤0恒成立,解得a≤0.
    而a=0时,y=-1,不是减函数,∴a<0.
    【答案】 a<0
    8.在下列命题中,真命题是________.(填序号)
    ①若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任意x∈(a,b),都应有f′(x)>0;
    ②若在(a,b)内f′(x)存在,则f(x)必为单调函数;
    ③若在(a,b)内对任意x都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内是增函数;
    ④若可导函数在(a,b)内有f′(x)<0,则在(a,b)内有f(x)<0.
    【解析】 对于①,可以存在x0,使f′(x0)=0不影响区间内函数的单调性;对于②,导数f′(x)符号不确定,函数不一定是单调函数;对于④,f′(x)<0只能得到f(x)单调递减.
    【答案】 ③
    三、解答题
    9.求下列函数的单调区间:
    (1)f(x)=x+sin x,x∈(0,2π);
    (2)f(x)=2x-ln x.
    【解】 (1)∵f′(x)=+cos x,
    令f′(x)>0,得+cos x>0,即cos x>-.
    又∵x∈(0,2π),∴0同理,令f′(x)<0,得π∴该函数的单调递增区间为,;
    单调递减区间为.
    (2)函数的定义域为(0,+∞),
    其导函数为f′(x)=2-.
    令2->0,解得x>;
    令2-<0,解得0∴该函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
    10.若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a的取值范围.
    【解】 函数求导得f′(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],令f′(x)=0得x=1或x=a-1.因为函数在区间(1,4)内为减函数,所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0,又因为函数在区间(6,+∞)内为增函数,所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0,所以4≤a-1≤6,所以5≤a≤7,即实数a的取值范围为[5,7].
    [能力提升]
    1.已知函数y=xf′(x)的图象如图3-3-5所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是(  )
    图3-3-5
    【解析】 由题图可知,当x<-1时,xf′(x)<0,所以f′(x)>0,此时原函数为增函数,图象应是上升的;当-10,所以f′(x)<0,此时原函数为减函数,图象应是下降的;当01时,xf′(x)>0,所以f′(x)>0,此时原函数为增函数,图象应是上升的,由上述分析,可知选C.
    【答案】 C
    2.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b时,有(  ) 【导学号:26160085】
    A.f(x)>g(x)
    B.f(x)<g(x)
    C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
    D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
    【解析】 ∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0,
    ∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数,
    ∴当a<x<b时,f(x)-g(x)>f(a)-g(a),
    ∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).故选C.
    【答案】 C
    3.若函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________.
    【解析】 f′(x)=-ax-2=-.
    因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f′(x)≤0有解.
    又因为函数f(x)的定义域为(0,+∞).
    所以ax2+2x-1≥0在(0,+∞)内有解.
    ①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,
    ax2+2x-1≥0在(0,+∞)内恒有解;
    ②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,
    若ax2+2x-1≥0在(0,+∞)内恒有解,

    解得-1≤a<0;
    ③当a=0时,显然符合题意.
    综合上述,a的取值范围是[-1,+∞).
    【答案】 [-1,+∞)
    4.已知函数f(x)=x3-ax-1.
    (1)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;
    (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由;
    (3)证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
    【解】 (1)f′(x)=3x2-a,∵3x2-a≥0在R上恒成立,即a≤3x2在R上恒成立,又∵y=3x2≥0,∴当a≤0时,f(x)=x3-ax-1在R上是增函数,又a=0时,f′(x)=3x2不恒为0,∴a≤0.
    (2)∵3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,∴a≥3x2在(-1,1)上恒成立.但当x∈(-1,1)时,0≤3x2<3,∴a≥3,即当a≥3时,f(x)在(-1,1)上单调递减.
    (3)证明:取x=-1,得f(-1)=a-2
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