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首页 高二 高中数学选修2-2课时训练 变化率与导数1.1.3 Word版含答案

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  • 资源类别:高二试卷
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:126k
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  • 整理时间:2021-04-20
  • 1.1.3 导数的几何意义
    [学习目标]
    1.了解导函数的概念;了解导数与割线斜率之间的关系.
    2.理解曲线的切线的概念;理解导数的几何意义.
    3.会求曲线上某点处的切线方程,初步体会以直代曲的意义.
    [知识链接]
     如果一个函数是路程关于时间的函数,那么函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的实际意义,那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢?
    答 
    设函数y=f(x)的图象如图所示,AB是过点A(x0,f(x0))与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,此割线的斜率是=.当点
    B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线.于是,当Δx→0时,割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k=f′(x0)=.
    [预习导引]
    1.导数的几何意义
    函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
    2.函数的导函数
    当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,则当x变化时,f′(x)是x的一个函数,称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′,即f′(x)=y′=.
    要点一 过曲线上一点的切线方程
    例1 若曲线y=x3+3ax在某点处的切线方程为y=3x+1,求a的值.
    解 ∵y=x3+3ax.
    ∴y′=

    = [3x2+3xΔx+(Δx)2+3a]=3x2+3a.
    设曲线与直线相切的切点为P(x0,y0),
    结合已知条件,得
    解得
    ∴a=1-.
    规律方法 一般地,设曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的定点,由导数的几何意义知k==,继而由点与斜率可得点斜式方程,化简得切线方程.
    跟踪演练1 求曲线y=在点处的切线方程.
    解 因为==
    =-.所以这条曲线在点处的切线斜率为-,由直线的点斜式方程可得切线方程为y-=-(x-2),即x+4y-4=0.
    要点二 求过曲线外一点的切线方程
    例2 已知曲线y=2x2-7,求:
    (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?
    (2)曲线过点P(3,9)的切线方程.
    解 y′=== (4x+2Δx)=4x.
    (1)设切点为(x0,y0),则4x0=4,x0=1,y0=-5,
    ∴切点坐标为(1,-5).
    (2)由于点P(3,9)不在曲线上.
    设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,
    故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0).
    将P(3,9)及y0=2x-7代入上式,
    得9-(2x-7)=4x0(3-x0).
    解得x0=2或x0=4,所以切点为(2,1)或(4,25).
    从而所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.
    规律方法 若题中所给点(x0,y0)不在曲线上,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
    跟踪演练2 求过点A(2,0)且与曲线y=相切的直线方程.
    解 易知点(2,0)不在曲线上,故设切点为P(x0,y0),由
    y′|x=x0==-,
    得所求直线方程为y-y0=-(x-x0).
    由点(2,0)在直线上,得xy0=2-x0,再由P(x0,y0)在曲线上,得x0y0=1,联立可解得x0=1,y0=1,所求直线方程为x+y-2=0.
    要点三 求切点坐标
    例3 在曲线y=x2上过哪一点的切线,
    (1)平行于直线y=4x-5;
    (2)垂直于直线2x-6y+5=0;
    (3)与x轴成135°的倾斜角.
    解 f′(x)===2x,设P(x0,y0)是满足条件的点.
    (1)因为切线与直线y=4x-5平行,
    所以2x0=4,x0=2,y0=4,
    即P(2,4)是满足条件的点.
    (2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,
    所以2x0·=-1,得x0=-,y0=,
    即P是满足条件的点.
    (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,
    所以其斜率为-1.即2x0=-1,
    得x0=-,y0=,
    即P是满足条件的点.
    规律方法 解答此类题目时,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用,如直线的倾斜角与斜率的关系,平行,垂直等.
    跟踪演练3 已知抛物线y=2x2+1,求
    (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?
    (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?
    解 设点的坐标为(x0,y0),则
    Δy=2(x0+Δx)2+1-2x-1=4x0·Δx+2(Δx)2.
    ∴=4x0+2Δx.
    当Δx无限趋近于零时,无限趋近于4x0.
    即f′(x0)=4x0.
    (1)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0,
    ∴斜率为4,
    即f′(x0)=4x0=4,得x0=1,该点为(1,3).
    (2)∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直,
    ∴斜率为8,
    即f′(x0)=4x0=8,得x0=2,该点为(2,9).
    1.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为(  )
    A.4 B.16
    C.8 D.2
    答案 C
    解析 f′(2)=
    == (8+2Δx)=8,即k=8.
    2.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(  )
    A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
    C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
    答案 A
    解析 由题意,知k=y′|x=0
    ==1,∴a=1.
    又(0,b)在切线上,∴b=1,故选A.
    3.已知曲线y=x2-2上一点P,则过点P的切线的倾斜角为(  )
    A.30° B.45°
    C.135° D.165°
    答案 B
    解析 ∵y=x2-2,
    ∴y′=

    ==x.
    ∴y′|x=1=1.∴点P处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°.
    4.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________.
    答案 (3,30)
    解析 设点P(x0,2x+4x0),
    则f′(x0)=
    ==4x0+4,
    令4x0+4=16得x0=3,∴P(3,30).
    1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k==f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
    2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f′(x0)是其导数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值.
    3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.
    一、基础达标
    1.下列说法正确的是(  )
    A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线
    B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
    C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
    D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
    答案 C
    解析 k=f′(x0),所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.
    2.已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(  )
    A.f′(xA)>f′(xB)
    B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB)
    D.不能确定
    答案 B
    解析 由导数的几何意义,f′(xA),f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率,由图象可知f′(xA)3.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是(  )
    A.(0,0) B.(2,4)
    C.(,) D.(,)
    答案 D
    解析 ∵y′== (2x+Δx)=2x,
    ∴令2x=tan =1,得x=.∴y=2=,所求点的坐标为.
    4.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于(  )
    A.1 B.
    C.- D.-1
    答案 A
    解析 ∵y′|x=1=
    = (2a+aΔx)=2a.∴可令2a=2,∴a=1.
    5.设y=f(x)为可导函数,且满足条件=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是________.
    答案 -4
    解析 由=-2,∴f′(1)=-2,f′(1)=-4.
    6.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)=________.
    答案 3
    解析 由在M点的切线方程y=x+2
    得f(1)=×1+2=,f′(1)=.
    ∴f(1)+f′(1)=+=3.
    7.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线.
    解 曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率
    k=y′|x=1=
    = (3Δx+2)=2.
    ∴过点P(-1,2)的直线的斜率为2,
    由点斜式得y-2=2(x+1),
    即2x-y+4=0.
    所以所求直线方程为2x-y+4=0.
    二、能力提升
    8.
    如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=(  )
    A.2    B.3
    C.4    D.5
    答案 A
    解析 易得切点P(5,3),∴f(5)=3,k=-1,即f′(5)=-1.∴f(5)+f′(5)=3-1=2.
    9.若曲线y=2x2-4x+P与直线y=1相切,则P=________.
    答案 3
    解析 设切点坐标为(x0,1),则f′(x0)=4x0-4=0,
    ∴x0=1,即切点坐标为(1,1).∴2-4+P=1,即P=3.
    10.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为,则点P横坐标的取值范围为________.
    答案 
    解析 ∵f′(x)=
    == (Δx+2x+2)=2x+2.
    ∴可设P点横坐标为x0,则曲线C在P点处的切线斜率为2x0+2.由已知得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-,∴点P横坐标的取值范围为.
    11.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10.求:
    (1)它们的交点;
    (2)抛物线在交点处的切线方程.
    解 (1) 由得或
    ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13).
    (2)∵y=x2+4,
    ∴y′=

    = (Δx+2x)=2x.
    ∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6,
    即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6.
    ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0;
    在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0.
    12.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
    解 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
    =(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x+ax-9x0-1)
    =(3x+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
    ∴=3x+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
    当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3x+2ax0-9.
    即f′(x0)=3x+2ax0-9
    ∴f′(x0)=3(x0+)2-9-.
    当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.
    ∵斜率最小的切线与12x+y=6平行,
    ∴该切线斜率为-12.∴-9-=-12.
    解得a=±3.又a<0,∴a=-3.
    三、探究与创新
    13.已知曲线C:y=x3.
    (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;
    (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
    解 (1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,
    ∴切点为P(1,1).∵f′(x0)==m

    =[3x+3x0Δx+(Δx)2]=3x,
    ∴当x0=1时,k=f′(1)=3.
    ∴过P点的切线方程为y-1=3(x-1),
    即3x-y-2=0.
    (2)由,可得(x-1)(x2+x-2)=0,
    解得x1=1,x2=-2.
    从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).
    说明切线与曲线C的公共点除了切点外,还有其他的公共点.
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