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习题课(三)
一、选择题
1．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若＝，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确命题的个数为(　　)
A．2　　　　　　　　　B．3
C．4　　　　　　　　　D．5
答案：C
解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同、终点相同，故①不正确；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确；③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上；零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中，若b＝0，则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确．
2．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是(　　)
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
答案：A
解析：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．即||－|≤||≤||＋||，故3≤||≤17.
3．对于非零向量a，b，下列说法不正确的是(　　)
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．若a∥b，则a＝b或a＝－b
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．a∥b与a，b共线是等价的
答案：B
解析：根据平面向量的概念和性质，可知a∥b只能保证a与b的方向相同或相反，但模长不确定，因此B错误．
4．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
答案：A
解析：将已知两式左右两边分别平方，得，两式相减并除以4，可得a·b＝1.
5．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于(　　)
A. B.
C．2 D．10
答案：B
解析：∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，又b∥c，∴2y＋4＝0，∴y＝－2，∴a＋b＝(x＋1,1＋y)＝(3，－1)．
∴|a＋b|＝.
6．对于非零向量α，β，定义一种向量积：α°β＝.已知非零向量a，b的夹角θ∈，且a°b，b°a都在集合中，则a°b＝(　　)
A.或 B.或
C．1 D.
答案：D
解析：a°b＝＝＝＝，n∈N①.同理可得b°a＝＝＝＝，m∈N②.再由a与b的夹角θ∈，可得cos2θ∈，①②两式相乘得cos2θ＝，m，n∈N，∴m＝n＝1，∴a°b＝＝，选D.
二、填空题
7．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
答案：2
解析：因为||2＝|－|2＝||2＋||2－·＝10＋10－0＝20，所以||＝＝2.
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是________．
答案：
解析：因为|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2－|a＋b|2＝2＋6－4＝4，故|a－b|＝2，因此cos〈a－b，a＋b〉＝＝＝－，故所求夹角是.
9．设正三角形ABC的面积为2，边AB，AC的中点分别为D，E，M为线段DE上的动点，则·＋2的最小值为________．
答案：
解析：设正三角形ABC的边长为2a，因为正三角形ABC的面积为2，所以a2＝.设MD＝x(0≤x≤a)，则ME＝a－x，·＋2＝(＋)·(＋)＋2＝·＋·＋·＋·＋2＝－x(a－x)＋xacos120°＋(a－x)acos120°＋a2cos60°＋4a2＝x2－ax＋4a2，当x＝时，·＋2取得最小值2－a×＋4a2＝a2＝.
三、解答题
10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)求a·b及|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16，
|a＋b|＝
＝
＝4.
(2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.
11．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解：(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)若＝3，则＝＋，
·＝·(－)
＝－2－·＋2
＝－×42－×4×2×cos60°＋×22
＝－3.
　　能力提升
12．已知A(1,0)，B(5，－2)，C(8,4)，D(4,6)，那么四边形ABCD为(　　)
A．正方形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
答案：D
解析：＝(4，－2)，＝(3,6)．
·＝4×3＋(－2)×6＝0，故⊥.
又＝(4，－2)，故 ＝.
又||＝＝2 ，||＝＝3 ，故||≠||，所以，四边形ABCD为矩形．
13．在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
解：(1)由题意得＝(t－4,2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴，即D(10－t，t－2)，
∴||＝
＝，
∴当t＝6时，||取得最小值4.