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首页 高二 高中数学教案选修2-2《瞬时变化率――导数(1)》

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  • 资源类别:高二教案
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:100k
  • 浏览次数:220
  • 整理时间:2021-03-29
  • 
    教学目标:
    1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念;
    2.理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法;
    3.理解切线概念实际背景,培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化
    问题的能力及数形结合思想.
    教学重点:
    理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法.
    教学难点:
    用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率.
    教学过程:
    一、问题情境
    1.问题情境.
    如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?
    如果将点P附近的曲线放大,那么就会发现,曲线在点P附近看上去有点像是直线.
    如果将点P附近的曲线再放大,那么就会发现,曲线在点P附近看上去几乎成了直线.事实上,如果继续放大,那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线,该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.
    因此,在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线,也就是说,点P附近,曲线可以看出直线(即在很小的范围内以直代曲).
    2.探究活动.
    如图所示,直线l1,l2为经过曲线上一点P的两条直线,
    (1)试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线;
    (2)在点P附近能作出一条比l1,l2更加逼近曲线的直线l3吗?
    (3)在点P附近能作出一条比l1,l2,l3更加逼近曲线的直线吗?
    二、建构数学
    切线定义: 如图,设Q为曲线C上不同于P的一点,直线PQ称为曲线的割线. 随着点Q沿曲线C向点P运动,割线PQ在点P附近逼近曲线C,当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l也称为曲线在点P处的切线.这种方法叫割线逼近切线.
    思考:如上图,P为已知曲线C上的一点,如何求出点P处的切线方程?
    三、数学运用
    例1 试求在点(2,4)处的切线斜率.
    解法一 分析:设P(2,4),Q(xQ,f(xQ)),
    则割线PQ的斜率为:
    当Q沿曲线逼近点P时,割线PQ逼近点P处的切线,从而割线斜率逼近切线斜率;
    当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时,即xQ无限趋近于2时,kPQ无限趋近于常数4.
    从而曲线f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率为4.
    解法二 设P(2,4),Q(xQ,xQ2),则割线PQ的斜率为:
    当∆x无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线f(x)=x2,在点(2,4)处的切线斜率为4.
    练习 试求在x=1处的切线斜率.
    解:设P(1,2),Q(1+Δx,(1+Δx)2+1),则割线PQ的斜率为:
    当∆x无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数2,从而曲线f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率为2.
    小结 求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤:
    (1)找到定点P的坐标,设出动点Q的坐标;
    (2)求出割线PQ的斜率;
    (3)当时,割线逼近切线,那么割线斜率逼近切线斜率.
    思考 如上图,P为已知曲线C上的一点,如何求出点P处的切线方程?
    解 设
    所以,当无限趋近于0时,无限趋近于点处的切线的斜率.
    变式训练
    1.已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程;
    2.已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程;
    3.已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程.
    课堂练习
    已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程.
    四、回顾小结
    1.曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线,则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映(局部以直代曲).
    2.根据定义,利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程.
    五、课外作业
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