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模块检测卷(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为(　　)
A. B.
C. D.，(k∈Z)
解析：选D　ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.又
∴
∴θ＝＋2kπ，k∈Z.
即点M的极坐标为，(k∈Z)．
2．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r(θ是常数)与圆(φ是参数)的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：选B　圆心到直线的距离d＝＝|r|＝r，故相切．
3．方程(t为参数)表示的曲线是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的上支
C．双曲线的下支 D．圆
解析：选B　将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：
x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，即y2－x2＝4.
又注意到2t>0,2t＋2－t≥2＝2，即y≥2.
可见与以上参数方程等价的普通方程为：y2－x2＝4(y≥2)．
显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
4．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　⇒
把直线代入x2＋y2＝9，
得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0，
|t1－t2|＝＝＝，
弦长为|t1－t2|＝.
5．极坐标ρ＝cos表示的曲线是(　　)
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
解析：选D　法一：由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得
ρ2＝ρcos＝ρ＝(ρcos θ＋ρsin θ)，
化为直角坐标方程得x2＋y2＝(x＋y)，故方程ρ＝cos表示圆．
法二：极坐标方程ρ＝2acos θ表示圆，而－θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ＝cos表示圆．
6．柱坐标P转换为直角坐标为(　　)
A．(5,8,8) B．(8,8，5) C．(8，8,5) D．(4,8，5)
解析：选B　由公式得即P点的直角坐标为(8,8，5)．
7．双曲线(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：选C　由⇒y2－＝1，两条渐近线的方程是y＝±x，
所以两条渐近线所夹的锐角是60°.
8．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为(　　)
A. B.
C.＋4 D．2b
解析：选A　设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，代入x2＋2y＝
4cos2θ＋2bsin θ＝－2＋4＋，
当0当b≥4时，(x2＋2y)max＝－2＋4＋＝2b.
9．若直线y＝x－b与曲线(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为(　　)
A．(2－，1)
B．[2－，2＋ ]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
解析：选D　将参数方程
化为普通方程(x－2)2＋y2＝1.依题意得，圆心(2,0)到直线y＝x－b，
即x－y－b＝0的距离小于圆的半径1，
则有＜1，|2－b|＜，－＜2－b＜，
即2－＜b＜2＋.
10．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(　　)
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
解析：选C　不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
11．已知过曲线(θ为参数且0≤θ≤)上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　设P(3cos θ，5sin θ)，则|OP|2＝9cos2θ＋25sin2θ＝9＋16sin2θ＝13，
得sin2θ＝.又0≤θ≤，∴sin θ＝，cos θ＝.
∴x＝3cos θ＝，y＝5sin θ＝，∴P点坐标为.
12．设曲线与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为(　　)
A．－ B．－ C. D.
解析：选A　令y＝0得：sin θ＝0，∴cos θ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cos θ，sin θ)．
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27，则大圆被小圆截得的劣弧的长________．
解析：设O1的参数方程为：(0≤θ＜2π)，
将上式代入圆O的方程得：
(3＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝9.整理得cos θ＝－，
∴θ1＝，θ2＝.∠MO1N＝－＝.
∴的长为：3·＝π.
答案：π
14．(江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.
答案：ρcos2θ－sin θ＝0
15．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
解析：曲线可化为y＝(x－2)2，
射线θ＝可化为y＝x(x>0)，
联立这两个方程得：x2－5x＋4＝0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标就是此方程的根，∴x1＋x2＝5，线段AB的中点的直角坐标为.
答案：
16．(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝x，联立消去y，得x2＝x，解得x＝或x＝0，所以y＝x＝3，即a＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，得点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为，A(1,0)，故直线AM的参数方程为(t为参数)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x－2y－7＝0距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|5sin (φ－θ)－13|φ为锐角且tan φ＝.
从而当sin(φ－θ)＝1时，d取得最小值.
19．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos (θ－)＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为ρ2－4ρ(cos θcos ＋sin θsin )＋6＝0，
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．
设cos θ＝，sin θ＝，
所以参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy＝(2＋cos θ)·(2＋sin θ)
＝4＋2(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ
＝3＋2(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②
设t＝cos θ＋sin θ，则t＝sin (θ＋)，t∈[－，]．
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时xy有最小值为1；
当t＝时，xy有最大值为9.
20．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
21．(福建高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交．
22．(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解：(1)由已知可得C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
A，B2cos，2sin，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，
所以S的取值范围是[32,52]．