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  • 资源类别:高一教案
  • 所属教版:高一上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
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  • 整理时间:2021-03-12
  • 
    2.3.2 抛物线的几何性质(1)
    【学情分析】:
    由于学生具备了曲线与方程的部分知识,掌握了研究解析几何的基本方法,因而利用已有椭圆与双曲线的知识,引导学生独立发现、归纳知识,指导学生在实践和创新意识上下工夫,训练基本技能。
    【教学目标】:
    (1)知识与技能:
    熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质。
    (2)过程与方法:
    重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养;启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考。
    (3)情感、态度与价值观:
    培养严谨务实,实事求是的个性品质和数学交流合作能力,以及勇于探索,勇于创新的求知意识,激发学生学习数学的兴趣与热情。
    【教学重点】:
    熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质。
    【教学难点】:
    熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质及其应用。
    【课前准备】:
    Powerpoint或投影片
    【教学过程设计】:
    教学环节
    教学活动
    设计意图
    一、复习引入
    1.已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.
    解:焦点在x轴负半轴上,=2,所以所求抛物线的标准方程是
    2.填空:动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e,则当0<e<1时,动点M的轨迹是椭圆;当e=1时,动点M的轨迹是抛物线;当e>1时,动点M的轨迹是双曲线.
    3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容:
    通过离心率的填空引出抛物线。引起学生的兴趣。
    二、抛物线的几何性质
    类比研究归纳抛物线的几何性质:
    引导学生填写表格。通过对比,让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。
    三、例题讲解
    例1 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点A(4,2),求这条抛物线的准线方程。
    解:⑴若抛物线开口向右,
    设抛物线的标准方程为
       ∵
    ∴       
       ∴抛物线的标准方程为
    ⑵若抛物线开口向上,
    设抛物线的标准方程为
       ∵
    ∴       
       ∴抛物线的标准方程为
    例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少?
    让学生运用抛物线的几何性质,写出符合条件的抛物线的准线方程。
    三、例题讲解
    分析:依标准方程特点和几何性质建系,由待定系数法求解,强调方程的完备性。
    解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合, 轴垂直于灯口直径.
      抛物线的标准方程为,由已知条件可得点 的坐标是(40,30)且在抛物线上,代入方程得: ,
    所以所求抛物线的标准方程为,焦点坐标是 .
    例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A、B两点,
    求证:以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切.
    分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.
    证明:如图.设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线引垂线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,则
    |AF|=|AD|,|BF|=|BC|
    ∴|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|
    所以EH是以AB为直径的圆E的半径,且EH⊥l,
    因而圆E和准线相切.
    运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题,提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。
    四、巩固练习
    1.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,如果,那么=( B )
    (A)10 (B)8 (C)6 (D)4
    2.已知为抛物线上一动点,为抛物线的焦点,定点,则的最小值为( B )
    (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
    3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点,若线段、的长分别是、,则=( C )
    (A) (B) (C) (D)
    4.过抛物线焦点的直线它交于、两点,则弦的中点的轨迹方程是
    5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动,求中点到轴距离的最小值,并求出此时中点的坐标
    (答案: , M到轴距离的最小值为)
    6. 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.
    解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则准线方
    因为抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
    得p=4.
    因此,所求抛物线方程为y2=-8x.
    又点M(-3,m)在此抛物线上,故m2=-8(-3).
    解法二:由题设列两个方程,可求得p和m.由题意
    在抛物线上且|MF|=5,故
    分层训练,让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。
    由学生演板.
    五、课后练习
    1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图.
    (1)顶点在原点,对称轴是x轴,顶点到焦点的距离等于8.
    (2)顶点在原点,焦点在y轴上,且过P(4,2)点.
    (3)顶点在原点,焦点在y轴上,其上点P(m,-3)到焦点距离为5.
    2.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在准线上的射影是A2,B2,则∠A2FB2等于       
    3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,求抛物线方程.
    4.以椭圆的右焦点,F为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆在准线所得的弦长.
    5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶4米时,水面宽40米,当水面下降1米时,水面宽是多少米?
    6.已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。
    习题答案:
    1.(1)y2=±32x (2)x2=8y (3)x2=-8y
    2.90°   3.x2=±16 y    4.
    5.米   6.y2=4x, m=或
    课后练习注意分层训练,让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。
    练习与测试:
    1.求适合下列条件的抛物线的方程:
    (1)顶点在原点,焦点为(0,5);
    (2)对称轴为x轴,顶点在原点,且过点(-3,4)。
    2.若P(x0,y0)是抛物线y2=-32x上一点,F为抛物线的焦点,则PF=( )。
    (A)x0+8 (B) x0 -8 (C)8- x0 (D) x0 +16
    3. 一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m,求水面宽度。
    4. 已知抛物线关于x轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的标准方程.
    解:由题意,可设抛物线方程为,因为它过点,
    所以 ,即
    因此,所求的抛物线方程为.
    5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径60cm,灯深为40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置.
    分析:这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出p值.
    解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口直径.
    设抛物线的标准方程是 (p>0).
    由已知条件可得点A的坐标是(40,30),代入方程,得,

    所求的抛物线标准方程为.
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