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模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“a∉A或b∉B”的否定形式是(　　)
A．若a∉A，则b∉B　 B．a∈A或b∈B
C．a∉A且b∉B D．a∈A且b∈B
【解析】　“p或q”的否定为“綈p且綈q”，D正确．
【答案】　D
2．已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　∵a2＜2a⇔a(a－2)＜0⇔0＜a＜2.
∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．
【答案】　B
3．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A.　 B.　
C.　　 D.
【解析】　由题意，1－＝＝，∴＝，而双曲线的离心率e2＝1＋＝1＋＝，∴e＝.
【答案】　B
4．已知空间向量a＝(t，1，t)，b＝(t－2，t，1)，则|a－b|的最小值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
【解析】　|a－b|＝≥2，故选C.
【答案】　C
5．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有(　　)
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不对
【解析】　对于＋＝1，因a2>9或a2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A，B，C均不正确，故选D.
【答案】　D
6．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1­AB­C为(　　)
A.　 B.
C.　　 D.
【解析】　以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面ABC的一个法向量为＝(0，0，1)，平面ABC1的一个法向量为＝(0，1，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝，又二面角C1­AB­C为锐角，即π－π＝，故选D.
【答案】　D
7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
【解析】　∵∀x∈[1，2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
【答案】　C
8．已知p：<0，q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的(　　)
【导学号：18490126】
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　不等式<0的解集为{x|x<－2}，则綈p：x≥－2.q：x>－2.故綈pq，q⇒綈p，故选C.
【答案】　C
9.如图1，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线，分别交抛物线的准线l、y轴、抛物线于A，B，C三点，若＝3，那么直线AF的斜率是(　　)
图1
A．－ B．－
C．－ D．－1
【解析】　过点B，C分别作准线l的垂线，垂足分别为B1，C1，设|BC|＝a.因为O是EF的中点，BO∥AE，所以|AB|＝|BF|＝3a，|CF|＝|CC1|＝2a，在△ACC1中，|AC1|＝2a，tan∠AFO＝tan∠ACC1＝，故直线AF的斜率是－，故选A.
【答案】　A
10．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为(　　)
A．－ B.
C．± D．±
【解析】　由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则斜率k＝＝±＝±＝±＝±(1－e)＝±，故选C.
【答案】　C
11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，4，|BF|成等差数列，则k＝(　　)
A．2或－1 B．－1
C．2 D．1±
【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)>0，解得k>－1，且x1＋x2＝.由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2，故选C.
【答案】　C
12．(2016·上海杨浦模考)若F1，F2为双曲线C：－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为(　　)
A.　 B.
C.　　 D.
【解析】　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，点P到x轴的距离为|yP|，则S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝r1r2，又4c2＝r＋r－2r1r2cos 60°＝(r1－r2)2＋2r1r2－r1r2＝4a2＋r1r2，得r1r2＝4c2－4a2＝4b2＝4，所以S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝＝·2c·|yP|＝|yP|，得|yP|＝，故选B.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知空间三点的坐标为A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)，若A，B，C三点共线，则p＋q＝________．
【解析】　由已知，得＝k，所以(p－1，－2，q＋4)＝k(1，－1，3)，得到p＝3，q＝2，p＋q＝5.
【答案】　5
14．已知命题p：∃x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】　因为命题p为假命题，所以命题“∀x∈R，ax2＋x＋>0”为真命题．当a＝0时，取x＝－1，则不等式不成立； 当a≠0时，要使不等式恒成立，令ax2＋x＋＝0，则有即所以即实数a的取值范围是.
【答案】　
15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB＝，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为______. 【导学号：18490127】
【解析】　如图所示，设|AF|＝a，|BF|＝b，则|AB|＝，而根据抛物线的定义可得|MN|＝，又≤，所以＝≤，当且仅当a＝b时，等号成立，即的最大值为.
【答案】　
16．四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________．
【解析】　如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，则重心G，因此＝(0，0，1)，＝，所以sin θ＝|cos〈，〉|＝＝.
【答案】　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
【解】　∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件．∴BA.
当B＝∅时，得a＝0；
当B≠∅时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．
则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝.
综上所述，实数a组成的集合是.
18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120°，·＝2.
图2
(1)求圆C的方程；
(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程．
【解】　(1)连结CQ，建立如图坐标系，由题意得△CQM为正三角形．
∴·＝r2·cos 60°＝2，
∴r＝2，
∴圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)易知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，)，
2a＝|QN|＋|QM|＝2＋2.
∴c＝2，a＝＋1，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆的方程为＋＝1.
19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
图3
(1)求证：AM⊥PD；
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．
【解】　(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.
∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，
于是＝(1，2，0)，＝(0，1，1)，＝(－1，0，0)．
设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥可得
令z＝1，得x＝2，y＝－1，于是n＝(2，－1，1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，
则sin α＝＝，cos α＝.
故直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.
20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．
图4
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．
【解】　 (1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图(1)．
图(1)
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD.
又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)，
图(2)
∴＝(－4k，6k，0)，＝(0，3k，1)，＝(0，0，1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得
取y＝2，得n＝(3，2，－6k)．
设AA1与平面AB1C所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1.
21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．
图5
(1)用p表示|AB|；
(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．
【解】　(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
(2)由(1)知，x1x2＝，x1＋x2＝3p，
∴y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，∴·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，解得p2＝4，∴p＝2.
∴这个抛物线的方程为y2＝4x.
22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
图6
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
【导学号：18490128】
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
【解】　(1)∵BF2＝，而BF＝OB2＋OF＝b2＋c2＝2＝a2，
∵点C在椭圆上，C，
∴＋＝1，
∴b2＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线BF2的方程为＋＝1，与椭圆方程＋＝1联立方程组，
解得A点坐标为，
则C点的坐标为，
又F1为(－c，0)，kF1C＝＝，
又kAB＝－，由F1C⊥AB，得·＝－1，
即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝＝.