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首页 高一 高中数学选修1-2:单元质量评估(二) Word版含答案

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  • 资源类别:高一试卷
  • 所属教版:高一下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
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  • 整理时间:2021-01-23
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    单元质量评估(二)
    (第二章)
    (120分钟 150分)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.(2016·锦州高二检测)下列说法正确的是(  )
    ①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一般是正确的;③演绎推理的一般形式是“三段论”形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.
    A.1个   B.2个   C.3个   D.4个
    【解析】选C.演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误,其他说法都正确.
    2.(2016·菏泽高二检测)下列推理过程是类比推理的是(  )
    A.人们通过大量实验得出掷硬币出现正面的机率为
    B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
    C.通过检验溶液的PH值得出溶液的酸碱性
    D.数学中由周期函数的定义来判断某函数是否为周期函数
    【解析】选B.由题设及推理知识知,A是归纳推理.C,D都是演绎推理.B是类比推理.
    3.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是(  )
    A.演绎推理 B.归纳推理
    C.类比推理 D.以上都不对
    【解析】选B.由部分推断全体,是归纳推理.
    4.(2016·珠海高二检测)若a>b>0,cA.> B.<
    C.> D.<
    【解析】选B.因为a>b>0,c-d>0,
    所以-ac>-bd>0,即ac又cd >0,所以<,即<.
    5.(2015·浙江高考)设实数a,b,t满足|a+1|=|sinb|=t.(  )
    A.若t确定,则b2唯一确定
    B.若t确定,则a2+2a唯一确定
    C.若t确定,则sin唯一确定
    D.若t确定,则a2+a唯一确定
    【解析】选B.当t=0时,sinb=0,b=kπ(k∈Z),
    此时b2不确定,故A错.
    sin=sin=0,1或-1,故C错;
    当t=2时,|a+1|=2得a=1或a=-3,所以a2+a=2或a2+a=6,故D错.
    因为当|a+1|=t时a2+2a=t2-1.
    当t确定时,t2-1唯一确定,即a2+2a也唯一确定.
    6.如果对象A和对象B都具有相同的属性P,Q,R等,此外已知对象A还有一个属性S,而对象B还有一个未知的属性x,由此类比推理,可以得出下列哪个结论可能成立(  )
    A.x就是P B.x就是Q
    C.x就是R D.x就是S
    【解析】选D.因为P,R,Q是均具有的属性,所以可能得出的结论只能是“x就是S”.
    【拓展延伸】类比推理的基本原则
    类比推理是由特殊到特殊的推理,它的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目,位置关系,度量等方面入手,由一类事物的特征类比出另一类事物的相关特征.
    平面图形与空间图形的类比如下:
    平面
    空间
    平面
    空间
    线

    平面角
    二面角

    线
    面积
    体积
    边长
    面积
    三角形
    四面体
    7.(2016·鞍山高二检测)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11…,则a11+b11=(  )
    A.28 B.76
    C.123 D.199
    【解析】选D.由已知a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=7=4+3,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,a11+b11=123+76=199.
    8.(2016·潍坊高二检测)若函数f(x)=x2-2x+m(x∈R)有两个零点,并且不等式f(1-x)≥-1恒成立,则实数m的取值范围为(  )
    A.(0,1) B. D.
    【解析】选B.因为f(x)=x2-2x+m有两个零点.
    所以4-4m>0,即m<1.
    由f(1-x)≥-1得(1-x)2-2(1-x)+m≥-1,
    即m≥-x2
    因为-x2≤0,故0≤m<1.
    9.已知f(x)=x3+x,x∈R,若a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定(  )
    A.大于0 B.小于0
    C.等于0 D.正负都有可能
    【解析】选A.因为f(x)为奇函数且为增函数,
    又因为a+b>0,所以a>-b,
    所以f(a)>f(-b),即f(a)+f(b)>0,
    同理f(a)+f(c)>0,f(b)+f(c)>0.
    所以2(f(a)+f(b)+f(c))>0,
    所以f(a)+f(b)+f(c)>0.
    10.用反证法证明“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”,应假设(  )
    A.a,b,c中至多有一个是偶数
    B.a,b,c中至少有一个是奇数
    C.a,b,c中全是奇数
    D.a,b,c中恰有一个是偶数
    【解析】选C.“a,b,c中至少有一个是偶数”包括“a,b,c中有一个或2个或3个偶数”,其反面是a,b,c中没有偶数,即全是奇数.
    11.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,那么a,b,c的值为(  )
    A.a=,b=c= B.a=b=c=
    C.a=0,b=c= D.不存在这样的a,b,c
    【解析】选A.令n=1,2,3,

    所以a=,b=c=.
    12.(2016·青岛高二检测)观察下列各式:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为(  )
    A.76 B.80 C.86 D.92
    【解析】选B.通过观察可以发现|x|+|y|的值为1,2,3时,对应的(x,y)的不同整数解的个数分别为4,8,12,可推得当|x|+|y|=n时,对应的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20时的不同整数解的个数为4×20=80.
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
    13.(2016·聊城高二检测)已知x,y∈R且2x+2y=1,则x+y的取值范围为________.
    【解析】因为2x+2y=1≥2,
    所以2x+y≤=2-2,所以x+y≤-2.
    答案:(-∞,-2]
    14.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
    【解题指南】丙拿的卡片上的数字不是“2和3”,只能是1和2,1和3,分类讨论.
    【解析】由题意得:丙不拿(2,3),
    若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,
    若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,
    故甲的卡片上的数字为1和3.
    答案:1和3
    15.观察下列等式:
    i=n2+n,
    i2=n3+n2+n,
    i3=n4+n3+n2,
    i4=n5+n4+n3-n,
    i5=n6+n5+n4-n2,
    i6=n7+n6+n5-n3+n,

    ik=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+…+a1n+a0,
    可以推测,当k≥2(k∈N*)时,ak+1=,ak=,ak-1=________,ak-2=________.
    【解析】由题意知,当k=2,3,4,5,6时,ak-1分别为,,,,,即,,,,,可以推测ak-1=.当k=2,3,4,5,6时,ak-2分别为0,0,0,0,0,可以推测ak-2=0.
    答案: 0
    16.(2016·临沂高二检测)观察下图:
    1 
    2 3 4
    3 4 5 6 7
    4 5 6 7 8 9 10
    ……
    则第________行的各数之和为20172.
    【解析】第1行各项和为1=12;第2行各项之和为9=32;
    第3行各项和为25=52;第4行各项之和为49=72;
    即第n行各项之和为(2n-1)2.
    令2n-1=2017得n=1009.
    答案:1009
    三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(10分)在正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{}成等差数列.证明数列{an}中有无穷多项为无理数.
    【证明】由已知有:=1+24(n-1),从而an=,取n-1=242k-1,则an=(k∈N*).
    用反证法证明这些an都是无理数.
    假设an=为有理数,则an必为正整数,且an>24k,故an-24k≥1,an+24k>1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,所以an=(k∈N*)都是无理数,即数列{an}中有无穷多项为无理数.
    18.(12分)(2016·德州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
    ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
    ②sin215°+cos215°-sin 15°·cos 15°;
    ③sin218°+cos212°-sin 18°·cos 12°;
    ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;
    ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
    (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.
    (2)根据(1)中结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
    【解析】(1)选择②式,计算如下:
    sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
    =1-sin 30°=1-=.
    (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=.
    证明如下:
    sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)
    =sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-
    sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
    =sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-
    sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.
    19.(12分)(2016·泉州高二检测)已知a>0,b>0,用分析法证明:≥,
    【证明】因为a>0,b>0,要证≥,
    只要证,(a+b)2≥4ab,只要证(a+b)2-4ab≥0,
    即证a2-2ab+b2≥0,
    而a2-2ab+b2=(a-b)2≥0恒成立,
    故≥成立.
    20.(12分)已知a>b>0,求证:<.
    【证明】因为a>b>0,所以->0,a-b>0.
    所以要证<成立,
    只需证-<成立,
    只需证2·-2b即证2即只需证(-)2>0成立,而(-)2>0显然成立,故(-)2<成立.
    21.(12分)(2016·西安高二检测)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.
    (1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长.
    (2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:
    四边形OABC不可能为菱形.
    【解析】(1)因为四边形OABC为菱形,
    所以AC与OB相互垂直平分.
    所以可设A,代入椭圆方程得+=1,
    即t=±,所以AC=2.
    (2)假设四边形OABC为菱形.
    因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB.
    由消y并整理得
    (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
    设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-,
    =k+m=.
    所以AC的中点为M.
    因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,
    所以直线OB的斜率为-.
    因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直,
    所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.
    所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能为菱形.
    22.(12分)(2016·昆明高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
    (1)求出f(5)的值.
    (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.
    (3)求+++…+的值.
    【解析】(1)f(5)=41.
    (2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,
    f(3)-f(2)=8=4×2,
    f(4)-f(3)=12=4×3,
    f(5)-f(4)=16=4×4,

    由以上规律,可得出f(n+1)-f(n)=4n,
    因为f(n+1)-f(n)=4n,所以f(n+1)=f(n)+4n,
    所以f(n)=f(n-1)+4(n-1)
    =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)
    =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)
    =…
    =f(n-(n-1))+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4
    =2n2-2n+1.
    (3)当n≥2时,==,
    所以+++…+
    =1+
    =1+=-.
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