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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·长春高二检测)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
【解析】　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，则AB中点C(2,4)对应的复数为2＋4i.
【答案】　C
2．复数z＝1＋3i的模等于(　　)
A．2 B．4
C. D．2
【解析】　|z|＝|1＋3i|＝＝，故选C.
【答案】　C
3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】　∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－1【答案】　A
4．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
【解析】　因为A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以向量对应的复数为－2＋i.
【答案】　B
5．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－，则z为(　　)
【导学号：19220042】
A．－＋2i B．－－2i
C．－＋3i D．－－3i
【解析】　设z＝－＋bi(b∈R)，由|z|＝＝3，解得b＝±2，又复数z对应的点在第二象限，则b＝2，
∴z＝－＋2i.
【答案】　A
二、填空题
6．在复平面内，复数z与向量(－3,4)相对应，则|z|＝________.
【解析】　由题意知z＝－3＋4i，
∴|z|＝＝5.
【答案】　5
7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
【解析】　由已知得∴
∴1【答案】　(1,2)
8．已知△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
【解析】　因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，
所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)．
又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
【答案】　－1－5i
三、解答题
9．若复数z＝x＋3＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？
【解】　∵|z|＝2，
∴＝2，
即(x＋3)2＋(y－2)2＝4.
∴点(x，y)的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．
10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于直线y＝x上．
【解】　(1)由题意得
得3(2)由题意得或
∴m>7或－2此时复数z对应的点位于第一、三象限．
(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需
m2－5m－14＝m－3，
∴m2－6m－11＝0，
∴m＝3±2，
此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．
[能力提升]
1．(2016·吉林高二检测)已知a∈R，且0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　∵00，且a－1<0，
故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．
【答案】　D
2．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是(　　)
A．直线
B．圆心在原点的圆
C．圆心不在原点的圆
D．椭圆
【解析】　因为a，x，y∈R，所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，所以消去a得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为的圆．
【答案】　C
3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝________.
【解析】　依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
【答案】　1＋2i或－1－2i
4．(2016·黄山高二检测)已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值.
【导学号：19220043】
【解】　因为对应的复数为－3＋4i，
对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.