本文由 102425tianyi 收集发布,转载请注明出处,如有问题请联系我们!高中数学选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案
学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·潍坊高二检测)如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(3,+∞)∪(-∞,-2)
D.(3,+∞)∪(-6,-2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上,
所以即
解得a>3或-6<a<-2,故选D.
【答案】 D
2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是( )
A.+x2=1
B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1
D.以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则
∴
∴椭圆的方程为x2+=1.
【答案】 A
3.(2016·合肥高二月考)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( )
A.5 B.4
C.3 D.1
【解析】 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,故选B.
【答案】 B
4.椭圆mx2+ny2=-mn(m【导学号:18490042】
A.(0,±) B.(±,0)
C.(0,±) D.(±,0)
【解析】 将mx2+ny2=-mn(m-n>0,得焦点在y轴上,即a2=-m,b2=-n,得c2=a2-b2=n-m,故选C.
【答案】 C
5.设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a=8,
又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3,
又|F1F2|=2c=2=4,
即|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2,
∴△PF1F2为直角三角形.
【答案】 B
二、填空题
6.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
【解析】 依题意,有
可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.
【答案】 3
7.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,则椭圆C的标准方程为________.
【解析】 法一:依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0).
从而有
解得
又a2=b2+c2,所以b2=12,
故椭圆C的标准方程为+=1.
法二:依题意,可设椭圆C的方程为
+=1(a>b>0),
则
解得b2=12或b2=-3(舍去),
从而a2=16,所以椭圆C的标准方程为+=1.
【答案】 +=1
8.已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.
【解析】 如图,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).
又|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c===1.
∴|QF1|=4,F1(-1,0),
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
∴动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.
【答案】 (x+1)2+y2=16
三、解答题
9.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,
∴2a=4,a2=4,
∵点是椭圆上的一点,
∴+=1,
∴b2=3,∴c2=1,
∴椭圆C的方程为+=1.
焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).
10.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号:18490043】
【解】 (1)由焦距是4,可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).
由椭圆的定义知,
2a=+=8,
所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,又因为c∶a=5∶13,所以c=5,
所以b2=a2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
[能力提升]
1.“0A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 曲线+=1表示椭圆等价于
得t∈∪.故选B.
【答案】 B
2.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若线段PF1的中点在y轴上,则|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍 B.5倍
C.4倍 D.3倍
【解析】 由已知F1(-3,0),F2(3,0),
由条件,知P,即|PF2|=.
由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=4.
所以|PF1|=.
所以|PF1|=7|PF2|.
【答案】 A
3.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是________.
【解析】 由条件可取F1(-3,0),∵PF1的中点在y轴上,
∴设P(3,y0),由P在椭圆+=1上得y0=±,
∴M的坐标为.
【答案】 ±
4.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆C相交于A,B两点(如图223),∠F1F2B=,△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍.若|AB|=,求椭圆C的方程.
【导学号:18490044】
图223
【解】 由题意可得S△F1F2A=2S△F1F2B,
∴|F2A|=2|F2B|,
由椭圆的定义得
|F1B|+|F2B|=|F1A|+|F2A|=2a,
设|F2A|=2|F2B|=2m,
在△F1F2B中,由余弦定理得
(2a-m)2=4c2+m2-2·2c·m·cos⇒
m=.
在△F1F2A中,同理可得m=,
所以=,解得2a=3c,
可得m=,|AB|=3m==,c=4.
由=,得a=6,b2=20,
所以椭圆C的方程为+=1.
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·潍坊高二检测)如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(3,+∞)∪(-∞,-2)
D.(3,+∞)∪(-6,-2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上,
所以即
解得a>3或-6<a<-2,故选D.
【答案】 D
2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是( )
A.+x2=1
B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1
D.以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则
∴
∴椭圆的方程为x2+=1.
【答案】 A
3.(2016·合肥高二月考)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( )
A.5 B.4
C.3 D.1
【解析】 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,故选B.
【答案】 B
4.椭圆mx2+ny2=-mn(m
A.(0,±) B.(±,0)
C.(0,±) D.(±,0)
【解析】 将mx2+ny2=-mn(m
【答案】 C
5.设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a=8,
又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3,
又|F1F2|=2c=2=4,
即|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2,
∴△PF1F2为直角三角形.
【答案】 B
二、填空题
6.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
【解析】 依题意,有
可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.
【答案】 3
7.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,则椭圆C的标准方程为________.
【解析】 法一:依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0).
从而有
解得
又a2=b2+c2,所以b2=12,
故椭圆C的标准方程为+=1.
法二:依题意,可设椭圆C的方程为
+=1(a>b>0),
则
解得b2=12或b2=-3(舍去),
从而a2=16,所以椭圆C的标准方程为+=1.
【答案】 +=1
8.已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.
【解析】 如图,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).
又|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c===1.
∴|QF1|=4,F1(-1,0),
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
∴动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.
【答案】 (x+1)2+y2=16
三、解答题
9.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,
∴2a=4,a2=4,
∵点是椭圆上的一点,
∴+=1,
∴b2=3,∴c2=1,
∴椭圆C的方程为+=1.
焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).
10.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号:18490043】
【解】 (1)由焦距是4,可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).
由椭圆的定义知,
2a=+=8,
所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,又因为c∶a=5∶13,所以c=5,
所以b2=a2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
[能力提升]
1.“0
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 曲线+=1表示椭圆等价于
得t∈∪.故选B.
【答案】 B
2.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若线段PF1的中点在y轴上,则|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍 B.5倍
C.4倍 D.3倍
【解析】 由已知F1(-3,0),F2(3,0),
由条件,知P,即|PF2|=.
由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=4.
所以|PF1|=.
所以|PF1|=7|PF2|.
【答案】 A
3.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是________.
【解析】 由条件可取F1(-3,0),∵PF1的中点在y轴上,
∴设P(3,y0),由P在椭圆+=1上得y0=±,
∴M的坐标为.
【答案】 ±
4.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆C相交于A,B两点(如图223),∠F1F2B=,△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍.若|AB|=,求椭圆C的方程.
【导学号:18490044】
图223
【解】 由题意可得S△F1F2A=2S△F1F2B,
∴|F2A|=2|F2B|,
由椭圆的定义得
|F1B|+|F2B|=|F1A|+|F2A|=2a,
设|F2A|=2|F2B|=2m,
在△F1F2B中,由余弦定理得
(2a-m)2=4c2+m2-2·2c·m·cos⇒
m=.
在△F1F2A中,同理可得m=,
所以=,解得2a=3c,
可得m=,|AB|=3m==,c=4.
由=,得a=6,b2=20,
所以椭圆C的方程为+=1.
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