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阶段质量检测(二)
(A卷　学业水平达标)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝(　　)
A．　　　　　　　 　B．
C． D．
答案：B
2．(全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
答案：B
3．若|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知＝a，
＝b，则下列向量中与同向的是(　　)
A.　　　　　　　　B.＋
C. D.－
答案：A
5．已知边长为1的正三角形ABC中，·＋·＋·的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：D
6．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝(　　)
A．1∶3 B．3∶1
C．1∶2 D．2∶1
答案：D
7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
答案：C
8．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2
C. D.
答案：C
9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝(　　)
A．1　　　 　B．2　　　　C．3　　　　D．4
答案：B
10.如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是(　　)
A.　　　B．9　　　C．－　　　D．－9
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在直角坐标系xOy中，＝(2,1)，＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的值为________．
答案：－6或－1
12．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.
答案：1
13．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且＝x＋y，则x的取值范围是______．当x＝－时，y的取值范围是________．
答案：(－∞，0)　
14．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得＝λ＋(1－λ)成立，此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量与向量a＝(1,1)垂直，则“向量关于和的终点共线分解系数”为________．
答案：－1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝＝2.
综上所述，|a－b|为2或2.
16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC.
(1)以a，b为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)∵M为DC的中点，
∴＝，又＝，
∴＝＋＝＋＝a＋b，
∵H为AD的中点，BF＝BC，＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋
＝－＋＋
＝－＝a－b.
(2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6，
·＝·
＝a2＋a·b－b2
＝×32＋×(－6)－×42
＝－.
17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
即(3＋2t)×(－2)＋(5＋t)×(－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
18．(本小题满分14分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得＝k，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
∴＝.
设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)，
∵＝(－7，－2)，
∴解得
即点A的坐标为(10,7)．
(B卷　能力素养提升)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．化简－＋－得(　　)
A．　　　　　　　　 　B．
C． D．0
解析：选D　－＋－
＝＋－(＋)＝－＝0.
2．已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝cos ＝.选C.
3．向量＝(4，－3)，＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰非直角三角形
B．等边三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C　＝－＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而·＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以⊥，又||≠||，所以△ABC是直角非等腰三角形．故选C.
4．若1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(0,5) B．25
C．2 D．5
解析：选D　∵F1＋F2＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝＝5.
5．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选D　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
6．(广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：选C　可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.
7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2
C．4 D．12
解析：选B　因为|a|＝2，|b|＝1，
∴a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.
8．如图，非零向量＝a，|a|＝2，＝b，a·b＝1，且⊥，C为垂足，若＝λa，则λ为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C　设a与b的夹角为θ.∵||就是在上的投影|b|cos θ，∴||＝|b| cos θ＝＝λ|a|，即λ＝＝，故选C.
9．若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选D　e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－，|a|＝＝＝，|b|＝＝＝，所以a，b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝120°.故选D.
10．在△ABC中，已知向量与满足＋·＝0且·＝，则△ABC为(　　)
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
解析：选D　非零向量与满足·＝0，即∠A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.
又cos A＝·＝，∴∠A＝，
所以△ABC为等边三角形，选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·＝________.
解析：n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－5＝2.
答案：2
12．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝1，则a·b的取值范围为________．
解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ，
又∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，即a·b∈[－2,2]．
答案：[－2,2]
13．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
解析：设AC∩BD＝O，则＝2(＋)，·＝·2(＋)＝2·＋2·＝2·＝2·(＋)＝2||2＝18.
答案：18
14．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
解析：①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，表明a与b－c向量垂直，不一定有b＝c，所以①不正确；对于②，当a∥b时，1×6＋2k＝0，则k＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知，若|a|＝|b|＝|a－b|，则|a|，|b|，|a－b|可构成一正三角形，那么a＋b与a的夹角为30°，而非60°，所以③错误．
答案：②
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知＝a，＝b，对于任意点M关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N.
(1)用a，b表示向量；
(2)设|a|＝1，|b|＝2，||∈[2，2]，求a与b的夹角θ的取值范围．
解：(1)依题意，知A为MS的中点，B为NS的中点．
∴＝2，＝2.
∴＝－＝2(－)＝2＝2(－)＝2(b－a)．
(2)∵||∈[2，2]，
∴2∈[12,28]，∴12≤4(b－a)2≤28.
∴3≤4＋1－2a·b≤7，∴－1≤a·b≤1.
∵cos θ＝＝，∴－≤cos θ≤.
∵0≤θ≤π，∴≤θ≤，即θ的取值范围为.
16．(本小题满分12分)已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.
求证：AC⊥BC.
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(－1,1)，＝(1,1)，
·＝－1×1＋1×1＝0，∴⊥，
∴BC⊥AC.
17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x，1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点.求实数m的值．
解：f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos 2x，
由已知得f＝m＋cos＝2，
解得m＝1.
18．(本小题满分14分)(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角；
(2)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点M，使⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，
∴a·b＝－6，
∴cos θ＝＝＝－，
∴θ＝120°.
(2)假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)，
∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
∴45λ2－48λ＋11＝0，得λ＝或λ＝.
∴＝(2,1)或＝.
∴存在M(2,1)或M满足题意.