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模块综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　　B.
C．－ D.
解析：选B　∵r＝，
∴cos α＝＝－，∴m>0，
∴＝，∴m＝±.
∵m>0，∴m＝.
2．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝·sin，g(x)＝sin2x＋，h(x)＝cos的部分图象(如图)，则(　　)
A．a为f(x)，b为g(x)，c为h(x)
B．a为h(x)，b为f(x)，c为g(x)
C．a为g(x)，b为f(x)，c为h(x)
D．a为h(x)，b为g(x)，c为f(x)
解析：选B　由于函数f(x)、g(x)、h(x)的最大值分别是、1、1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图象；g(x)、h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a、c分别是h(x)、g(x)的图象．
3．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)
A．2－
B．－＋2
C.－
D．－＋
解析：选A　∵＝＋＝＋2＝＋2(－)，
∴＝2－.
4．已知两不共线的向量a，b，若对非零实数m，n有ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选C　∵ma＋nb＝λ(a－2b)，
∴∴＝－.
5．若α∈，且sin α＝，则sin－·cos(π－α)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　sin－cos(π－α)
＝sin α＋cos α＋cos α
＝sin α＋cos α.
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝×－×＝－.
6．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于(　　)
A. B.
C．0 D．－1
解析：选C　∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.
7．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝2cos2πx－1
B．y＝sin 2πx＋cos 2πx
C．y＝tan ＋1
D．y＝sin πxcos πx
解析：选D　对于A，y＝2cos2πx－1＝cos 2πx是偶函数；对于B，y＝sin 2πx＋cos 2πx＝·sin非奇非偶；对于C，y＝tan ＋1非奇非偶；对于D，y＝sin πxcos πx＝sin 2πx是奇函数．
8．已知向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝m＋n，＝m－3n，D为BC边的中点，则||等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　＝(＋)＝m－n.
∴||＝＝＝1.
9．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　)
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D　∵＋＋＝，
∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，
∴P是AC边的一个三等分点．
10．(天津高考)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin2x－在区间上的最小值为－.
11．如图是函数f(x)＝A·cos(x＋φ)－1(A>0，|φ|<)的图象的一部分，则f(2 012)＝(　　)
A．－3 B．2
C. D．1
解析：选A　由函数的最大值为1可知A＝2，由函数f(x)的图象过原点，可知2cos φ－1＝0，又|φ|<，所以φ＝±，又点(1,0)在函数f(x)的图象上，代入检验可知φ＝－，故f(x)＝2·cos－1，所以f(2 012)＝2·cos－1＝－3.
12．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
解析：选C　设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，
＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋2
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·最小，此时P(3,0)．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．要得到函数y＝sin(2x＋)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象________个单位．
解析：y＝sin(2x＋)＝sin 2，故向左平移个单位．
答案：向左平移
14．直线x＝t与函数y＝sin x，y＝cos x的图象分别相交于M，N两点，则|MN|的最大值为________．
解析：M，N的纵坐标分别为sin t，cos t，
则|MN|＝|sin t－cos t|＝|sin(t－)|.
∴|MN|max＝.
答案：
15．若0≤α≤2π，sin α＞cos α，则α的取值范围是____________．
解析：∵sin α>cos α，∴sin α－cos α>0，
即2＝2sin>0，
由0≤α≤2π，得－≤α－≤，
∴0<α－<π，即α∈.
答案：
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案：
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知＝－.
(1)求tan α的值；
(2)若β为第二象限的角，且tan(α－β)＝，求β.
解：(1)∵
＝
＝tan α＝－.
∴tan α＝－.
(2)∵tan β＝tan [α－(α－β)]
＝
＝＝－1.
又∵β为第二象限角，
∴β＝2kπ＋，k∈Z.
18．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A 的值；
(2)若 f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，
∴Asin＝⇒Asin＝⇒A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin，
∵f(θ)－f(－θ)＝，
∴3sin－3sin＝，
展开得3sin θ＋cos θ－3cos θ－sin θ＝，化简得sin θ＝.
∵θ∈0，，∴cos θ＝.
∴f－θ＝3sin＝3sin－θ＝3cos θ＝.
19．(本小题满分12分)(北京高考)函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为＝＝π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈.
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
20．(本小题满分12分)已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24)的函数，下表是某日各时的浪高数据：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
(1)根据以上数据，选用一个函数来近似描述y与t的函数关系；
(2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解：(1)以时间为横坐标，高度为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．根据散点图，可考虑用函数y＝Acos ωt＋b刻画y与t的函数关系．
由表中数据，知周期T＝12.
∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，
∴振幅为，∴y＝cost＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，
∴cost＋1＞1，
∴cost＞0.
∴2kπ－＜t＜2kπ＋.
即12k－3＜t＜12k＋3，
∵0≤t≤24，
∴k可取0,1,2，
得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6 h时间可供冲浪者运动： 上午9：00至15：00.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A＞0，0＜φ＜.y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．
解：(1)由题意得，T＝＝6.
因为P(1，A)在y＝Asin(x＋φ)的图象上，
所以sin(＋φ)＝1.
又因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)，
由题意可知x0＋＝，得x0＝4，
所以Q(4，－A)．
则＝(0，A)，＝(3，－A)，
∴cos∠PRQ＝＝＝－，
解得A2＝3.又A>0，所以A＝.
22．(本小题满分12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点(0,1)．
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝sin(πx＋φ)的单调递增区间；
(3)求使y≥1的x的集合．
解：(1)因为函数图象过点(0,1)，
所以2sin φ＝1，即sin φ＝.
因为0≤φ≤，所以φ＝.
(2)由(1)得y＝2sin(πx＋)，
∴当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，y＝sin(πx＋)是增函数．
则y＝2sin(πx＋)的单调递增区间为[－＋2k，＋2k]，k∈Z.
(3)由y≥1，得sin(πx＋)≥，
∴＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
得2k≤x≤＋2k，k∈Z，
∴y≥1时，x的集合为{x|2k≤x≤＋2k，k∈Z}．