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正态分布(一)·教案

目的要求
1．掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．
2．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
3．通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．
内容分析
1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布．在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布．但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口．正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布．
2．正态分布是可以用函数形式来表述的．其密度函数可写成：
由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的．常把它记为N(μ，σ2)．
3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x＝μ，并在x＝μ时取最大值．从x＝μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．
4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．
5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难．但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N(0，1)，其他的正态
从而使正态分布的研究得以简化．
6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质
教学过程
(一)引入新课
1．复习提问
(1)运用多媒体画出(图1－3)频率分布直方图．
(2)当n由100增至200时，观察频率分布直方图的变化．
(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)
(4)样本容量越大，总体估计就越精确．
2．通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．
(二)讲授新课
1．正态分布密度函数的理解．
其中：π是圆周率；e是自然对数的底；
x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；
σ是正态分布的标准差
正态分布一般记为N(μ，σ2)．
例1 下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．
(答案：μ＝0，σ＝1；μ＝1，σ＝2；μ＝－1，σ＝0.5)
2．正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．
3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称．正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上．讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．
4．结合正态曲线，归纳其以下性质：
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
(2)曲线关于直线x＝μ对称．
(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．
(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．
σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．
例2 正态总体的函数表示式是
(1)求f(x)的最大值．
(2)利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．
5．当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
其相应的曲线称为标准正态曲线．
标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．
(三)小结
总体密度曲线——正态曲线——标准正态曲线
布置作业
教科书习题1．3第1题．